Номер 69, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $ |\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 5, \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ; $

2) $ |\vec{a}| = 7, |\vec{b}| = 1, \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150^\circ; $

3) $ |\vec{a}| = 6, |\vec{b}| = 9, \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ. $

69. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 5, \angle(\vec{a},\vec{b}) = 60^\circ;$

2) $|\vec{a}| = 7, |\vec{b}| = 1, \angle(\vec{a},\vec{b}) = 150^\circ;$

3) $|\vec{a}| = 6, |\vec{b}| = 9, \angle(\vec{a},\vec{b}) = 90^\circ.$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле, которая связывает длины векторов и косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$
где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, а $\angle(\vec{a}, \vec{b})$ — это угол между этими векторами.
Применим эту формулу для решения каждого пункта задачи.

1)
Даны следующие значения: модуль вектора $|\vec{a}| = 2$, модуль вектора $|\vec{b}| = 5$ и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60°$.
Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \cos(60°)$
Из тригонометрии известно, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$.
Выполним вычисление:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$
Ответ: 5

2)
Даны следующие значения: модуль вектора $|\vec{a}| = 7$, модуль вектора $|\vec{b}| = 1$ и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150°$.
Подставим эти значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot 1 \cdot \cos(150°)$
Значение косинуса для угла 150° можно найти, используя формулу приведения: $\cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°)$.
Так как $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\cos(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Выполним вычисление:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{7\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $-\frac{7\sqrt{3}}{2}$

3)
Даны следующие значения: модуль вектора $|\vec{a}| = 6$, модуль вектора $|\vec{b}| = 9$ и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90°$.
Подставим эти значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 9 \cdot \cos(90°)$
Из тригонометрии известно, что косинус прямого угла равен нулю: $\cos(90°) = 0$.
Выполним вычисление:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 54 \cdot 0 = 0$
Скалярное произведение равно нулю, что является признаком перпендикулярности (ортогональности) векторов.
Ответ: 0