Номер 67, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Образом точки $E (5; -6; 7)$ при гомотетии с центром $D (-3; 0; 1)$ является точка $E_1 (29; -24; 25)$. Найдите прообраз $F$ точки $F_1 (37; -8; 7)$ при этой гомотетии.

67. Образом точки $E (5; -6; 7)$ при гомотетии с центром $D (-3; 0; 1)$ является точка $E_1 (29; -24; 25)$. Найдите прообраз $F$ точки $F_1 (37; -8; 7)$ при этой гомотетии.

Гомотетия с центром в точке $D(x_0; y_0; z_0)$ и коэффициентом $k$ преобразует точку $P$ в точку $P_1$ таким образом, что выполняется векторное равенство $\vec{DP_1} = k \cdot \vec{DP}$.
Сначала найдем коэффициент гомотетии $k$. Нам даны центр $D(-3; 0; 1)$, точка $E(5; -6; 7)$ и ее образ $E_1(29; -24; 25)$.
Найдем координаты векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DE_1}$:
$\vec{DE} = (5 - (-3); -6 - 0; 7 - 1) = (8; -6; 6)$
$\vec{DE_1} = (29 - (-3); -24 - 0; 25 - 1) = (32; -24; 24)$
Подставим координаты векторов в формулу гомотетии:
$\vec{DE_1} = k \cdot \vec{DE}$
$(32; -24; 24) = k \cdot (8; -6; 6)$
Из этого равенства, приравнивая соответствующие координаты, находим $k$:
$32 = k \cdot 8 \implies k = \frac{32}{8} = 4$
Таким образом, коэффициент гомотетии равен 4.

Теперь найдем прообраз $F(x; y; z)$ точки $F_1(37; -8; 7)$, используя найденный коэффициент $k=4$ и центр гомотетии $D(-3; 0; 1)$.
Запишем для этих точек векторное равенство: $\vec{DF_1} = k \cdot \vec{DF}$.
Найдем координаты векторов $\vec{DF}$ и $\vec{DF_1}$:
$\vec{DF} = (x - (-3); y - 0; z - 1) = (x + 3; y; z - 1)$
$\vec{DF_1} = (37 - (-3); -8 - 0; 7 - 1) = (40; -8; 6)$
Подставим известные значения в формулу:
$(40; -8; 6) = 4 \cdot (x + 3; y; z - 1)$
Это векторное равенство равносильно системе трех уравнений для координат:
$\begin{cases} 40 = 4(x + 3) \\ -8 = 4y \\ 6 = 4(z - 1)\end{cases}$
Решим эту систему:
Из первого уравнения: $10 = x + 3 \implies x = 7$.
Из второго уравнения: $y = \frac{-8}{4} \implies y = -2$.
Из третьего уравнения: $\frac{6}{4} = z - 1 \implies 1,5 = z - 1 \implies z = 2,5$.
Следовательно, прообраз $F$ имеет координаты $(7; -2; 2,5)$.

Ответ: $F(7; -2; 2,5)$