Страница 46 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $A_1D_1$, точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $A_1D_1$, точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Для решения задачи представим искомый вектор $\vec{MK}$ в виде суммы векторов, идущих по ломаной линии из точки $M$ в точку $K$. Удобно выбрать путь, проходящий по ребрам куба или их частям. Один из таких путей: $M \to D_1 \to C_1 \to K$. Согласно правилу сложения векторов, получаем:

$ \vec{MK} = \vec{MD_1} + \vec{D_1C_1} + \vec{C_1K} $

Теперь последовательно выразим каждый вектор в этой сумме через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Точка $M$ является серединой ребра $A_1D_1$. Следовательно, вектор $\vec{MD_1}$ направлен так же, как и вектор $\vec{A_1D_1}$, а его длина равна половине длины ребра. Таким образом, $\vec{MD_1} = \frac{1}{2}\vec{A_1D_1}$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то векторы на параллельных ребрах равны: $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$. Следовательно:

$ \vec{MD_1} = \frac{1}{2}\vec{AD} $

2. Ребра $D_1C_1$ и $AB$ параллельны и одинаково направлены. Значит, соответствующие им векторы равны:

$ \vec{D_1C_1} = \vec{AB} $

3. Точка $K$ является серединой ребра $CC_1$. Вектор $\vec{C_1K}$ направлен от точки $C_1$ к точке $K$, то есть его направление противоположно направлению вектора $\vec{CC_1}$. Его длина равна половине длины ребра. Таким образом, $\vec{C_1K} = -\frac{1}{2}\vec{CC_1}$. Боковые ребра куба параллельны и равны, поэтому $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$. Отсюда получаем:

$ \vec{C_1K} = -\frac{1}{2}\vec{AA_1} $

Теперь подставим полученные выражения в исходную сумму для вектора $\vec{MK}$:

$ \vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AA_1} $

Для удобства записи переставим слагаемые:

$ \vec{MK} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1} $

Ответ: $ \vec{MK} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1} $

64. На ребре $AC$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MC = 1 : 4$. Выразите вектор $\vec{BM}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

64. На ребре AC тетраэдра DABC отметили точку M так, что $AM : MC = 1 : 4$. Выразите вектор $\vec{BM}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{BM}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$, используем правило разности векторов, выбрав в качестве общего начала точку D. По этому правилу, вектор $\vec{BM}$ можно представить как разность векторов, исходящих из точки D в точки M и B:

$\vec{BM} = \vec{DM} - \vec{DB}$

Теперь нам нужно выразить вектор $\vec{DM}$ через заданные векторы. По условию, точка M делит ребро AC в отношении $AM : MC = 1 : 4$. Это означает, что вектор $\vec{DM}$ можно найти, используя формулу для вектора точки, делящей отрезок в данном отношении. Положение точки M относительно начала D определяется векторами $\vec{DA}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{DM} = \frac{4 \cdot \vec{DA} + 1 \cdot \vec{DC}}{1+4}$

Упростив это выражение, получаем:

$\vec{DM} = \frac{4\vec{DA} + \vec{DC}}{5} = \frac{4}{5}\vec{DA} + \frac{1}{5}\vec{DC}$

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{DM}$ в нашу первую формулу для $\vec{BM}$:

$\vec{BM} = \left(\frac{4}{5}\vec{DA} + \frac{1}{5}\vec{DC}\right) - \vec{DB}$

Таким образом, мы получили искомое выражение вектора $\vec{BM}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{BM} = \frac{4}{5}\vec{DA} - \vec{DB} + \frac{1}{5}\vec{DC}$

Ответ: $\vec{BM} = \frac{4}{5}\vec{DA} - \vec{DB} + \frac{1}{5}\vec{DC}$

65. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AD$ отметили точку $M$ так, что $AM : MD = 1 : 3$, а на отрезке $C_1D$ — точку $K$ так, что $C_1K : KD = 3 : 4$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$.

65. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AD$ отметили точку $M$ так, что $AM : MD = 1 : 3$, а на отрезке $C_1D$ — точку $K$ так, что $C_1K : KD = 3 : 4$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$.

Для решения задачи введем базисные векторы, которые нам даны в условии: $\vec{a} = \vec{BA}$, $\vec{c} = \vec{BC}$ и $\vec{b_1} = \vec{BB_1}$.

Вектор $\vec{MK}$ можно выразить через правило ломаной линии или как разность векторов, выходящих из одной точки. Выберем второй способ, представив $\vec{MK}$ как разность векторов, проведенных из вершины B:

$\vec{MK} = \vec{BK} - \vec{BM}$

Теперь найдем каждый из векторов $\vec{BM}$ и $\vec{BK}$, выразив их через базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{c}$ и $\vec{b_1}$.

1. Найдем вектор $\vec{BM}$.

Точка M лежит на ребре AD. По правилу треугольника для векторов:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \vec{AM}$

По условию, точка M делит ребро AD в отношении $AM : MD = 1 : 3$. Это означает, что длина отрезка AM составляет $\frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ длины всего ребра AD. Следовательно, вектор $\vec{AM}$ можно выразить через вектор $\vec{AD}$:

$\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{AD}$

В параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{AD} = \vec{BC}$. В наших обозначениях $\vec{BC} = \vec{c}$.

Значит, $\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{c}$.

Подставим это в выражение для $\vec{BM}$:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{1}{4}\vec{BC} = \vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c}$

2. Найдем вектор $\vec{BK}$.

Точка K лежит на отрезке $C_1D$ и делит его в отношении $C_1K : KD = 3 : 4$. Для нахождения вектора $\vec{BK}$ воспользуемся формулой деления отрезка в заданном отношении для векторов, проведенных из точки B:

$\vec{BK} = \frac{4 \cdot \vec{BC_1} + 3 \cdot \vec{BD}}{3+4} = \frac{4\vec{BC_1} + 3\vec{BD}}{7}$

Теперь выразим векторы $\vec{BC_1}$ и $\vec{BD}$ через наш базис:

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$. Поскольку $\vec{CC_1} = \vec{BB_1} = \vec{b_1}$, получаем: $\vec{BC_1} = \vec{c} + \vec{b_1}$.

$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}$. Поскольку $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{c}$, получаем: $\vec{BD} = \vec{a} + \vec{c}$.

Подставим эти выражения в формулу для $\vec{BK}$:

$\vec{BK} = \frac{4(\vec{c} + \vec{b_1}) + 3(\vec{a} + \vec{c})}{7} = \frac{4\vec{c} + 4\vec{b_1} + 3\vec{a} + 3\vec{c}}{7} = \frac{3\vec{a} + 7\vec{c} + 4\vec{b_1}}{7}$

Разделим почленно:

$\vec{BK} = \frac{3}{7}\vec{a} + \vec{c} + \frac{4}{7}\vec{b_1}$

3. Найдем искомый вектор $\vec{MK}$.

Теперь вычтем из вектора $\vec{BK}$ вектор $\vec{BM}$:

$\vec{MK} = \vec{BK} - \vec{BM} = \left(\frac{3}{7}\vec{a} + \vec{c} + \frac{4}{7}\vec{b_1}\right) - \left(\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c}\right)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при одинаковых базисных векторах:

$\vec{MK} = \frac{3}{7}\vec{a} + \vec{c} + \frac{4}{7}\vec{b_1} - \vec{a} - \frac{1}{4}\vec{c}$

$\vec{MK} = \left(\frac{3}{7} - 1\right)\vec{a} + \left(1 - \frac{1}{4}\right)\vec{c} + \frac{4}{7}\vec{b_1}$

Выполним вычисления:

$\frac{3}{7} - 1 = \frac{3-7}{7} = -\frac{4}{7}$

$1 - \frac{1}{4} = \frac{4-1}{4} = \frac{3}{4}$

Таким образом, получаем:

$\vec{MK} = -\frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{c} + \frac{4}{7}\vec{b_1}$

Подставим обратно исходные обозначения векторов:

$\vec{MK} = -\frac{4}{7}\vec{BA} + \frac{3}{4}\vec{BC} + \frac{4}{7}\vec{BB_1}$

Ответ: $\vec{MK} = -\frac{4}{7}\vec{BA} + \frac{3}{4}\vec{BC} + \frac{4}{7}\vec{BB_1}$

66. Найдите координаты образа точки $C (-11; 19; 15)$ при гомотетии с центром в точке $B (3; -2; 8)$ и коэффициентом гомотетии $k = \frac{4}{7}$.

66. Найдите координаты образа точки C $(-11; 19; 15)$ при гомотетии с центром в точке B $(3; -2; 8)$ и коэффициентом гомотетии $k = \frac{4}{7}$.

Координаты образа $C'(x', y', z')$ точки $C(x_C, y_C, z_C)$ при гомотетии с центром в точке $B(x_B, y_B, z_B)$ и коэффициентом $k$ вычисляются по следующим формулам:

$x' = x_B + k(x_C - x_B)$

$y' = y_B + k(y_C - y_B)$

$z' = z_B + k(z_C - z_B)$

В условии задачи даны:
- Координаты исходной точки $C (-11; 19; 15)$.
- Координаты центра гомотетии $B (3; -2; 8)$.
- Коэффициент гомотетии $k = \frac{4}{7}$.

Подставим данные значения в формулы для нахождения координат образа точки $C'$.

Вычисление координаты $x'$:
$x' = 3 + \frac{4}{7}(-11 - 3) = 3 + \frac{4}{7}(-14) = 3 + 4 \cdot (-2) = 3 - 8 = -5$.

Вычисление координаты $y'$:
$y' = -2 + \frac{4}{7}(19 - (-2)) = -2 + \frac{4}{7}(19 + 2) = -2 + \frac{4}{7}(21) = -2 + 4 \cdot 3 = -2 + 12 = 10$.

Вычисление координаты $z'$:
$z' = 8 + \frac{4}{7}(15 - 8) = 8 + \frac{4}{7}(7) = 8 + 4 = 12$.

Таким образом, координаты образа точки $C$ равны $(-5; 10; 12)$.

Ответ: $(-5; 10; 12)$.

67. Образом точки $E (5; -6; 7)$ при гомотетии с центром $D (-3; 0; 1)$ является точка $E_1 (29; -24; 25)$. Найдите прообраз $F$ точки $F_1 (37; -8; 7)$ при этой гомотетии.

67. Образом точки $E (5; -6; 7)$ при гомотетии с центром $D (-3; 0; 1)$ является точка $E_1 (29; -24; 25)$. Найдите прообраз $F$ точки $F_1 (37; -8; 7)$ при этой гомотетии.

Гомотетия с центром в точке $D(x_0; y_0; z_0)$ и коэффициентом $k$ преобразует точку $P$ в точку $P_1$ таким образом, что выполняется векторное равенство $\vec{DP_1} = k \cdot \vec{DP}$.
Сначала найдем коэффициент гомотетии $k$. Нам даны центр $D(-3; 0; 1)$, точка $E(5; -6; 7)$ и ее образ $E_1(29; -24; 25)$.
Найдем координаты векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DE_1}$:
$\vec{DE} = (5 - (-3); -6 - 0; 7 - 1) = (8; -6; 6)$
$\vec{DE_1} = (29 - (-3); -24 - 0; 25 - 1) = (32; -24; 24)$
Подставим координаты векторов в формулу гомотетии:
$\vec{DE_1} = k \cdot \vec{DE}$
$(32; -24; 24) = k \cdot (8; -6; 6)$
Из этого равенства, приравнивая соответствующие координаты, находим $k$:
$32 = k \cdot 8 \implies k = \frac{32}{8} = 4$
Таким образом, коэффициент гомотетии равен 4.

Теперь найдем прообраз $F(x; y; z)$ точки $F_1(37; -8; 7)$, используя найденный коэффициент $k=4$ и центр гомотетии $D(-3; 0; 1)$.
Запишем для этих точек векторное равенство: $\vec{DF_1} = k \cdot \vec{DF}$.
Найдем координаты векторов $\vec{DF}$ и $\vec{DF_1}$:
$\vec{DF} = (x - (-3); y - 0; z - 1) = (x + 3; y; z - 1)$
$\vec{DF_1} = (37 - (-3); -8 - 0; 7 - 1) = (40; -8; 6)$
Подставим известные значения в формулу:
$(40; -8; 6) = 4 \cdot (x + 3; y; z - 1)$
Это векторное равенство равносильно системе трех уравнений для координат:
$\begin{cases} 40 = 4(x + 3) \\ -8 = 4y \\ 6 = 4(z - 1)\end{cases}$
Решим эту систему:
Из первого уравнения: $10 = x + 3 \implies x = 7$.
Из второго уравнения: $y = \frac{-8}{4} \implies y = -2$.
Из третьего уравнения: $\frac{6}{4} = z - 1 \implies 1,5 = z - 1 \implies z = 2,5$.
Следовательно, прообраз $F$ имеет координаты $(7; -2; 2,5)$.

Ответ: $F(7; -2; 2,5)$

68. Высота пирамиды равна 24 см. Через точку $D$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны $45 \text{ см}^2$ и $320 \text{ см}^2$. Найдите расстояние от точки $D$ до основания данной пирамиды.

68. Высота пирамиды равна 24 см. Через точку $D$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны $45 \text{ см}^2$ и $320 \text{ см}^2$. Найдите расстояние от точки $D$ до основания данной пирамиды.

Обозначим высоту исходной пирамиды как $H$, а площадь её основания как $S_{big}$. По условию, $H = 24$ см и $S_{big} = 320$ см².

Через точку $D$ на высоте проведена плоскость, параллельная основанию. Эта плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную ей. Основание этой меньшей пирамиды является верхним основанием образовавшейся усеченной пирамиды. Обозначим высоту меньшей пирамиды как $h_{small}$, а площадь её основания как $S_{small}$. По условию, $S_{small} = 45$ см².

Для подобных тел (в данном случае — для исходной и отсеченной пирамид) отношение площадей их оснований равно квадрату отношения их соответственных высот: $$ \frac{S_{small}}{S_{big}} = \left(\frac{h_{small}}{H}\right)^2 $$

Подставим известные значения в формулу: $$ \frac{45}{320} = \left(\frac{h_{small}}{24}\right)^2 $$

Сократим дробь в левой части уравнения: $$ \frac{45}{320} = \frac{9 \cdot 5}{64 \cdot 5} = \frac{9}{64} $$

Теперь уравнение выглядит так: $$ \frac{9}{64} = \left(\frac{h_{small}}{24}\right)^2 $$

Извлечем квадратный корень из обеих частей (так как высота является положительной величиной): $$ \sqrt{\frac{9}{64}} = \frac{h_{small}}{24} $$ $$ \frac{3}{8} = \frac{h_{small}}{24} $$

Найдем высоту малой пирамиды $h_{small}$: $$ h_{small} = 24 \cdot \frac{3}{8} = 3 \cdot 3 = 9 \text{ см} $$

Искомое расстояние от точки $D$ до основания данной пирамиды — это высота усеченной пирамиды. Она равна разности высоты исходной пирамиды и высоты отсеченной малой пирамиды. $$ h_{D} = H - h_{small} $$ $$ h_{D} = 24 - 9 = 15 \text{ см} $$

Ответ: 15 см.

69. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $ |\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 5, \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ; $

2) $ |\vec{a}| = 7, |\vec{b}| = 1, \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150^\circ; $

3) $ |\vec{a}| = 6, |\vec{b}| = 9, \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ. $

69. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 5, \angle(\vec{a},\vec{b}) = 60^\circ;$

2) $|\vec{a}| = 7, |\vec{b}| = 1, \angle(\vec{a},\vec{b}) = 150^\circ;$

3) $|\vec{a}| = 6, |\vec{b}| = 9, \angle(\vec{a},\vec{b}) = 90^\circ.$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле, которая связывает длины векторов и косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$
где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, а $\angle(\vec{a}, \vec{b})$ — это угол между этими векторами.
Применим эту формулу для решения каждого пункта задачи.

1)
Даны следующие значения: модуль вектора $|\vec{a}| = 2$, модуль вектора $|\vec{b}| = 5$ и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60°$.
Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \cos(60°)$
Из тригонометрии известно, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$.
Выполним вычисление:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$
Ответ: 5

2)
Даны следующие значения: модуль вектора $|\vec{a}| = 7$, модуль вектора $|\vec{b}| = 1$ и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150°$.
Подставим эти значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot 1 \cdot \cos(150°)$
Значение косинуса для угла 150° можно найти, используя формулу приведения: $\cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°)$.
Так как $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\cos(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Выполним вычисление:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{7\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $-\frac{7\sqrt{3}}{2}$

3)
Даны следующие значения: модуль вектора $|\vec{a}| = 6$, модуль вектора $|\vec{b}| = 9$ и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90°$.
Подставим эти значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 9 \cdot \cos(90°)$
Из тригонометрии известно, что косинус прямого угла равен нулю: $\cos(90°) = 0$.
Выполним вычисление:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 54 \cdot 0 = 0$
Скалярное произведение равно нулю, что является признаком перпендикулярности (ортогональности) векторов.
Ответ: 0

70. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $135^\circ$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 7\sqrt{2}$. Найдите скалярное произведение $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a}$.

70. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $135^{\circ}$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=7\sqrt{2}$. Найдите скалярное произведение $(2\vec{b} + 5\vec{a})\cdot\vec{a}$.

Для нахождения скалярного произведения $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a}$ воспользуемся его свойствами. Сначала, используя дистрибутивный закон и свойство вынесения скалярного множителя, преобразуем выражение:

$(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a} = (2\vec{b} \cdot \vec{a}) + (5\vec{a} \cdot \vec{a}) = 2(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 5(\vec{a} \cdot \vec{a})$

Теперь вычислим каждое скалярное произведение в полученном выражении по отдельности.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между ними. Из условия задачи известно, что $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 7\sqrt{2}$ и $\alpha = 135^\circ$. Найдем значение косинуса: $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{b} \cdot \vec{a}$ (оно равно $\vec{a} \cdot \vec{b}$):

$\vec{b} \cdot \vec{a} = |\vec{b}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(135^\circ) = 7\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -21 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = -21 \cdot \frac{2}{2} = -21$.

Скалярный квадрат вектора $\vec{a}$ равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

$\vec{a} \cdot \vec{a} = 3^2 = 9$.

Подставим найденные значения в преобразованное выражение:

$2(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 5(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 2 \cdot (-21) + 5 \cdot 9 = -42 + 45 = 3$.

Ответ: 3

71. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $60^\circ$, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$.

Найдите скалярное произведение $(3\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b})$.

71. Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равен $60^\circ$, $ |\vec{a}|=|\vec{b}|=1 $.
Найдите скалярное произведение $ (3\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b}) $.

Для того чтобы найти скалярное произведение $(3\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b})$, необходимо раскрыть скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения:

$(3\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 3\vec{a} \cdot \vec{a} - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Воспользуемся свойствами скалярного произведения:

1. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля): $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$.
2. Скалярное произведение коммутативно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Применяя эти свойства, упростим выражение:

$3|\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 = 3|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2$

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$, используя формулу: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

По условию задачи, $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$, и угол между ними равен $60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Подставим найденные и данные значения в упрощенное выражение:

$3|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 = 3(1)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right) - (1)^2 = 3 \cdot 1 - 1 - 1 = 3 - 2 = 1$

Ответ: 1