Страница 41 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Какие из точек $F(3; -8; 2)$, $E(3; 8; -2)$, $K(-3; -8; -2)$, $N(3; 14; 2)$ лежат в одной плоскости, параллельной плоскости $xz$?

6. Какие из точек $F(3; -8; 2)$, $E(3; 8; -2)$, $K(-3; -8; -2)$, $N(3; 14; 2)$ лежат в одной плоскости, параллельной плоскости $xz$?

Плоскость, параллельная координатной плоскости xz, состоит из всех точек пространства, имеющих одну и ту же координату y. Уравнение такой плоскости имеет вид $y = c$, где c — константа.

Чтобы определить, какие из данных точек лежат в одной такой плоскости, нужно найти точки с одинаковой координатой y.

Даны точки:

• F (3; -8; 2) → координата y = -8
• E (3; 8; -2) → координата y = 8
• K (-3; -8; -2) → координата y = -8
• N (3; 14; 2) → координата y = 14

Сравнивая координаты y, видим, что у точек F и K они совпадают и равны -8. Следовательно, точки F(3; -8; 2) и K(-3; -8; -2) лежат в одной плоскости $y = -8$, которая параллельна плоскости xz.

Ответ: F и K.

7. Укажите расстояние от точки $M(-9; 7; -3)$ до координатной плоскости:

1) $xz$;

2) $xy$;

3) $yz$.

7. Укажите расстояние от точки $M (-9; 7; -3)$ до координатной плоскости:

1) $xz$;

2) $xy$;

3) $yz$.

Для нахождения расстояния от точки до координатной плоскости используется перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Длина этого перпендикуляра равна модулю той координаты точки, которая равна нулю для всех точек данной плоскости.

Дана точка $M(-9; 7; -3)$. Ее координаты: $x = -9$, $y = 7$, $z = -3$.

1) xz;

Координатная плоскость $xz$ определяется уравнением $y=0$. Расстояние от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $xz$ равно модулю ее координаты $y_0$. В нашем случае, $y_0 = 7$. Следовательно, расстояние от точки $M(-9; 7; -3)$ до плоскости $xz$ равно $|7| = 7$.

Ответ: 7

2) xy;

Координатная плоскость $xy$ определяется уравнением $z=0$. Расстояние от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $xy$ равно модулю ее координаты $z_0$. В нашем случае, $z_0 = -3$. Следовательно, расстояние от точки $M(-9; 7; -3)$ до плоскости $xy$ равно $|-3| = 3$.

Ответ: 3

3) yz.

Координатная плоскость $yz$ определяется уравнением $x=0$. Расстояние от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $yz$ равно модулю ее координаты $x_0$. В нашем случае, $x_0 = -9$. Следовательно, расстояние от точки $M(-9; 7; -3)$ до плоскости $yz$ равно $|-9| = 9$.

Ответ: 9

8. Найдите расстояние между точками $E (7; -7; 10)$ и $F (1; -4; 4)$.

8. Найдите расстояние между точками $E(7; -7; 10)$ и $F(1; -4; 4)$.

Для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве E($x_1$; $y_1$; $z_1$) и F($x_2$; $y_2$; $z_2$) используется формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Подставим координаты данных точек E(7; -7; 10) и F(1; -4; 4) в формулу.

Пусть $x_1 = 7$, $y_1 = -7$, $z_1 = 10$ и $x_2 = 1$, $y_2 = -4$, $z_2 = 4$.

Тогда расстояние EF будет равно:

$EF = \sqrt{(1 - 7)^2 + (-4 - (-7))^2 + (4 - 10)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-4 + 7)^2 + (-6)^2}$

$EF = \sqrt{36 + 3^2 + 36} = \sqrt{36 + 9 + 36} = \sqrt{81}$

$EF = 9$

Следовательно, расстояние между точками E и F равно 9.

Ответ: 9

9. Найдите расстояние от точки $E (6; 5; -4)$ до оси ординат.

9. Найдите расстояние от точки $E (6; 5; -4)$ до оси ординат.

Решение:Расстояние от точки в трехмерном пространстве до одной из координатных осей — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось. В задаче требуется найти расстояние от точки $E(6; 5; -4)$ до оси ординат (оси $Oy$).
Любая точка, лежащая на оси ординат, имеет координаты $x=0$ и $z=0$. Проекцией точки $E(x_E; y_E; z_E)$ на ось $Oy$ будет точка $P$, которая имеет ту же ординату, что и точка $E$, а остальные координаты равны нулю. Таким образом, координаты точки $P$ будут $(0; 5; 0)$.
Искомое расстояние равно длине отрезка $EP$. Найдем его, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$Подставим координаты точек $E(6; 5; -4)$ и $P(0; 5; 0)$:$d = \sqrt{(6 - 0)^2 + (5 - 5)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2 + (-4)^2}$$d = \sqrt{36 + 0 + 16} = \sqrt{52}$
Можно также воспользоваться готовой формулой для нахождения расстояния от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до оси ординат ($Oy$):$d = \sqrt{x_0^2 + z_0^2}$Применив эту формулу для точки $E(6; 5; -4)$, получаем:$d = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$
Упростим полученный результат:$\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$
Ответ: $2\sqrt{13}$

10. Расстояние между точками A $(-2; 3; z)$ и B $(1; -5; -2)$ равно $7\sqrt{2}$. Найдите значение $z$.

10. Расстояние между точками A $(-2; 3; z)$ и B $(1; -5; -2)$ равно $7\sqrt{2}$. Найдите значение z.

Для решения задачи воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Расстояние $d$ между точками $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется как:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Нам даны координаты точек $A(-2; 3; z)$ и $B(1; -5; -2)$, а также расстояние между ними $d = 7\sqrt{2}$. Подставим известные значения в формулу:

$7\sqrt{2} = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-5 - 3)^2 + (-2 - z)^2}$

Упростим выражение под знаком корня:

$7\sqrt{2} = \sqrt{(1 + 2)^2 + (-8)^2 + (-2 - z)^2}$

$7\sqrt{2} = \sqrt{3^2 + 64 + (-(2 + z))^2}$

$7\sqrt{2} = \sqrt{9 + 64 + (z+2)^2}$

$7\sqrt{2} = \sqrt{73 + (z+2)^2}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(7\sqrt{2})^2 = (\sqrt{73 + (z+2)^2})^2$

$49 \cdot 2 = 73 + (z+2)^2$

$98 = 73 + (z+2)^2$

Теперь найдем значение выражения $(z+2)^2$:

$(z+2)^2 = 98 - 73$

$(z+2)^2 = 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных уравнения:

$z+2 = 5$ или $z+2 = -5$

Решим каждое из них:

1) $z + 2 = 5$

$z_1 = 5 - 2 = 3$

2) $z + 2 = -5$

$z_2 = -5 - 2 = -7$

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: -7; 3.

11. Найдите точку, принадлежащую оси абсцисс и равноудалённую от точек $A (4; -5; 6)$ и $B (2; 3; -4)$.

11. Найдите точку, принадлежащую оси абсцисс и равноудалённую от точек $A (4; -5; 6)$ и $B (2; 3; -4)$.

Пусть искомая точка C принадлежит оси абсцисс. Это означает, что ее координаты по осям ординат и аппликат равны нулю. Таким образом, координаты точки C можно записать как C(x; 0; 0).

По условию задачи, точка C равноудалена от точек A(4; -5; 6) и B(2; 3; -4). Это значит, что расстояние AC равно расстоянию BC. Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов этих расстояний: $AC^2 = BC^2$.

Формула для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ в пространстве выглядит так: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния AC:

$AC^2 = (x - 4)^2 + (0 - (-5))^2 + (0 - 6)^2 = (x - 4)^2 + 5^2 + (-6)^2 = (x - 4)^2 + 25 + 36 = (x - 4)^2 + 61$.

Найдем квадрат расстояния BC:

$BC^2 = (x - 2)^2 + (0 - 3)^2 + (0 - (-4))^2 = (x - 2)^2 + (-3)^2 + 4^2 = (x - 2)^2 + 9 + 16 = (x - 2)^2 + 25$.

Теперь приравняем полученные выражения для $AC^2$ и $BC^2$:

$(x - 4)^2 + 61 = (x - 2)^2 + 25$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 8x + 16 + 61 = x^2 - 4x + 4 + 25$

Упростим выражение:

$x^2 - 8x + 77 = x^2 - 4x + 29$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения и перенесем слагаемые с x в одну сторону, а числа - в другую:

$77 - 29 = 8x - 4x$

$48 = 4x$

$x = \frac{48}{4}$

$x = 12$

Таким образом, абсцисса искомой точки равна 12. Координаты точки C: (12; 0; 0).

Ответ: (12; 0; 0)

12. Найдите координаты середины отрезка $FK$, если

$F (-3; 0; 4), K (3; 5; -2)$.

12. Найдите координаты середины отрезка $FK$, если $F (-3; 0; 4)$, $K (3; 5; -2)$.

Чтобы найти координаты середины отрезка, необходимо вычислить среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Пусть C($x_c$; $y_c$; $z_c$) — искомая середина отрезка FK.

Координаты концов отрезка: F(−3; 0; 4) и K(3; 5; −2).

Формулы для нахождения координат середины отрезка:

$x_c = \frac{x_F + x_K}{2}$

$y_c = \frac{y_F + y_K}{2}$

$z_c = \frac{z_F + z_K}{2}$

Подставим значения координат точек F и K в эти формулы:

Вычисляем координату $x_c$:

$x_c = \frac{-3 + 3}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Вычисляем координату $y_c$:

$y_c = \frac{0 + 5}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$

Вычисляем координату $z_c$:

$z_c = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Следовательно, координаты середины отрезка FK равны (0; 2,5; 1).

Ответ: (0; 2,5; 1)

13. Точка $C$ – середина отрезка $MK$. Найдите координаты точки $M$, если $C(-6; 2; 3.5)$, $K(0; -8; 3)$.

13. Точка C — середина отрезка MK. Найдите координаты точки M, если C $(-6; 2; 3,5)$, K $(0; -8; 3)$.

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x_M; y_M; z_M)$. Точка $C(x_C; y_C; z_C)$ является серединой отрезка $MK$, поэтому её координаты равны полусумме соответствующих координат точек $M$ и $K(x_K; y_K; z_K)$.

Формулы для нахождения координат середины отрезка:
$x_C = \frac{x_M + x_K}{2}$
$y_C = \frac{y_M + y_K}{2}$
$z_C = \frac{z_M + z_K}{2}$

Из этих формул мы можем выразить координаты точки $M$:
$x_M = 2x_C - x_K$
$y_M = 2y_C - y_K$
$z_M = 2z_C - z_K$

Из условия задачи известны координаты точек $C(-6; 2; 3,5)$ и $K(0; -8; 3)$. Подставим эти значения в выведенные формулы, чтобы найти координаты точки $M$.

Вычисляем координату $x_M$:
$x_M = 2 \cdot (-6) - 0 = -12 - 0 = -12$

Вычисляем координату $y_M$:
$y_M = 2 \cdot 2 - (-8) = 4 + 8 = 12$

Вычисляем координату $z_M$:
$z_M = 2 \cdot 3,5 - 3 = 7 - 3 = 4$

Таким образом, координаты искомой точки $M$ равны $(-12; 12; 4)$.

Ответ: $M(-12; 12; 4)$

14. Точки $E (-3; 8; 7)$ и $F (-9; 6; -2)$ симметричны относительно точки $M$. Найдите координаты точки $M$.

14. Точки $E (-3; 8; 7)$ и $F (-9; 6; -2)$ симметричны относительно точки M. Найдите координаты точки M.

Если две точки симметричны относительно третьей точки, то эта третья точка является серединой отрезка, соединяющего две первые точки. В данном случае, точка $M$ является серединой отрезка $EF$.

Координаты середины отрезка находятся по формулам, вычисляющим среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Пусть координаты точки $M$ будут $(x_M; y_M; z_M)$, а координаты точек $E$ и $F$ — $(x_E; y_E; z_E)$ и $(x_F; y_F; z_F)$ соответственно.

Дано: $E(-3; 8; 7)$ и $F(-9; 6; -2)$.

Вычислим каждую координату точки $M$:

1. Координата $x_M$:
$x_M = \frac{x_E + x_F}{2} = \frac{-3 + (-9)}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

2. Координата $y_M$:
$y_M = \frac{y_E + y_F}{2} = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

3. Координата $z_M$:
$z_M = \frac{z_E + z_F}{2} = \frac{7 + (-2)}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, координаты точки $M$ равны $(-6; 7; 2.5)$.

Ответ: $M(-6; 7; 2.5)$

15. Найдите координаты точек, симметричных точкам $B (-2; 1; -3)$, $C (5; 1; 9)$ и $E (10; 0; -3)$ относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $xz$.

15. Найдите координаты точек, симметричных точкам $B(-2; 1; -3)$, $C(5; 1; 9)$ и $E(10; 0; -3)$ относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $xz$.

1) начала координат

Точка, симметричная точке $P(x; y; z)$ относительно начала координат $O(0; 0; 0)$, имеет координаты $P'(-x; -y; -z)$. Это означает, что для нахождения координат симметричной точки нужно изменить знак каждой координаты исходной точки на противоположный.

Найдем координаты точек, симметричных точкам $B$, $C$ и $E$ относительно начала координат:

• Для точки $B(-2; 1; -3)$ симметричной будет точка $B'$ с координатами $(-(-2); -1; -(-3))$, то есть $B'(2; -1; 3)$.
• Для точки $C(5; 1; 9)$ симметричной будет точка $C'$ с координатами $(-5; -1; -9)$.
• Для точки $E(10; 0; -3)$ симметричной будет точка $E'$ с координатами $(-10; -0; -(-3))$, то есть $E'(-10; 0; 3)$.

Ответ: $B'(2; -1; 3)$, $C'(-5; -1; -9)$, $E'(-10; 0; 3)$.

2) плоскости xz

Точка, симметричная точке $P(x; y; z)$ относительно плоскости $xz$, имеет координаты $P''(x; -y; z)$. Это означает, что координаты $x$ и $z$ остаются без изменений, а координата $y$ меняет свой знак на противоположный.

Найдем координаты точек, симметричных точкам $B$, $C$ и $E$ относительно плоскости $xz$:

• Для точки $B(-2; 1; -3)$ симметричной будет точка $B''$ с координатами $(-2; -1; -3)$.
• Для точки $C(5; 1; 9)$ симметричной будет точка $C''$ с координатами $(5; -1; 9)$.
• Для точки $E(10; 0; -3)$ симметричной будет точка $E''$ с координатами $(10; -0; -3)$, то есть $E''(10; 0; -3)$. Так как у точки $E$ координата $y$ равна нулю, она лежит в плоскости $xz$ и, следовательно, симметрична самой себе относительно этой плоскости.

Ответ: $B''(-2; -1; -3)$, $C''(5; -1; 9)$, $E''(10; 0; -3)$.

16. Найдите координаты точки, которая делит отрезок $AB$ в отношении $1 : 3$, считая от точки $A$, если $A(4; -5; 2), B(12; -3; -4)$.

16. Найдите координаты точки, которая делит отрезок $AB$ в отношении $1 : 3$, считая от точки $A$, если $A(4; -5; 2)$, $B(12; -3; -4)$.

Для нахождения координат точки $C(x; y; z)$, которая делит отрезок с концами в точках $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ в отношении $m:n$, считая от точки $A$, используются следующие формулы:

$x = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m + n}$

$y = \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m + n}$

$z = \frac{n \cdot z_1 + m \cdot z_2}{m + n}$

Согласно условию задачи, имеем следующие данные:

Координаты точки $A(x_1; y_1; z_1) = (4; -5; 2)$.

Координаты точки $B(x_2; y_2; z_2) = (12; -3; -4)$.

Отрезок делится в отношении $m:n = 1:3$.

Подставим эти значения в формулы для вычисления координат искомой точки.

Вычисляем координату $x$:

$x = \frac{3 \cdot 4 + 1 \cdot 12}{1 + 3} = \frac{12 + 12}{4} = \frac{24}{4} = 6$

Вычисляем координату $y$:

$y = \frac{3 \cdot (-5) + 1 \cdot (-3)}{1 + 3} = \frac{-15 - 3}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$

Вычисляем координату $z$:

$z = \frac{3 \cdot 2 + 1 \cdot (-4)}{1 + 3} = \frac{6 - 4}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(6; -4.5; 0.5)$.

Ответ: $(6; -4.5; 0.5)$

17. Найдите координаты вершины $B$ параллелограмма $ABCD$, если $A (-3; 8; -5)$, $C (-7; 6; 7)$, $D (4; -2; -3)$.

17. Найдите координаты вершины $B$ параллелограмма $ABCD$, если $A(-3; 8; -5)$, $C(-7; 6; 7)$, $D(4; -2; -3)$.

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это свойство означает, что середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD. Мы можем использовать это для нахождения координат вершины B.

Пусть координаты искомой вершины B будут $(x_B; y_B; z_B)$.

1. Найдем координаты точки O — середины диагонали AC. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Используем координаты точек A(−3; 8; −5) и C(−7; 6; 7):
$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-3 + (-7)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$z_O = \frac{z_A + z_C}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей O равны (−5; 7; 1).

2. Точка O(−5; 7; 1) также является серединой диагонали BD. Используя координаты точки D(4; −2; −3), составим уравнения для нахождения координат точки B:
$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \implies -5 = \frac{x_B + 4}{2}$
$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \implies 7 = \frac{y_B + (-2)}{2}$
$z_O = \frac{z_B + z_D}{2} \implies 1 = \frac{z_B + (-3)}{2}$

3. Решим полученные уравнения относительно координат точки B:
$x_B + 4 = -5 \cdot 2 \implies x_B + 4 = -10 \implies x_B = -14$
$y_B - 2 = 7 \cdot 2 \implies y_B - 2 = 14 \implies y_B = 16$
$z_B - 3 = 1 \cdot 2 \implies z_B - 3 = 2 \implies z_B = 5$
Следовательно, искомые координаты вершины B: (−14; 16; 5).

Ответ: B(−14; 16; 5).

18. Точки $A_1 (-4; 3; -2)$ и $C_1 (3; -1; -2)$ — середины сторон $BC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $B$ и $C$, если вершина $A$ имеет координаты $(5; 3; -6)$.

18. Точки $A_1 (-4; 3; -2)$ и $C_1 (3; -1; -2)$ — середины сторон $BC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $B$ и $C$, если вершина $A$ имеет координаты $(5; 3; -6)$.

Пусть координаты вершин треугольника будут $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$ и $C(x_C; y_C; z_C)$. По условию задачи нам даны координаты вершины $A(5; 3; -6)$, середины стороны $BC$ — точки $A_1(-4; 3; -2)$, и середины стороны $AB$ — точки $C_1(3; -1; -2)$.

Координаты $(x_M; y_M; z_M)$ середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$, $z_M = \frac{z_1 + z_2}{2}$.

Из этих формул можно выразить координаты одного из концов отрезка, если известны координаты другого конца и середины:
$x_2 = 2x_M - x_1$, $y_2 = 2y_M - y_1$, $z_2 = 2z_M - z_1$.

Сначала найдем координаты вершины $B$. Точка $C_1$ является серединой отрезка $AB$. Используя известные координаты точки $A(5; 3; -6)$ и середины $C_1(3; -1; -2)$, найдем координаты точки $B(x_B; y_B; z_B)$:
$x_B = 2x_{C1} - x_A = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$
$y_B = 2y_{C1} - y_A = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$
$z_B = 2z_{C1} - z_A = 2 \cdot (-2) - (-6) = -4 + 6 = 2$
Таким образом, координаты вершины $B$ — $(1; -5; 2)$.

Теперь найдем координаты вершины $C$. Точка $A_1$ является серединой отрезка $BC$. Используя найденные координаты точки $B(1; -5; 2)$ и известные координаты середины $A_1(-4; 3; -2)$, найдем координаты точки $C(x_C; y_C; z_C)$:
$x_C = 2x_{A1} - x_B = 2 \cdot (-4) - 1 = -8 - 1 = -9$
$y_C = 2y_{A1} - y_B = 2 \cdot 3 - (-5) = 6 + 5 = 11$
$z_C = 2z_{A1} - z_B = 2 \cdot (-2) - 2 = -4 - 2 = -6$
Таким образом, координаты вершины $C$ — $(-9; 11; -6)$.

Ответ: $B(1; -5; 2)$, $C(-9; 11; -6)$.

19. Даны точки $A(3; -5; 0)$, $B(7; 1; 4)$, $C(-3; 9; -6)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

19. Даны точки $A (3; -5; 0)$, $B (7; 1; 4)$, $C (-3; 9; -6)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

Чтобы найти длину средней линии $MN$ треугольника $ABC$, можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Использование свойства средней линии треугольника

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. В данном случае средняя линия $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, её длина равна половине длины стороны $AC$.

$$MN = \frac{1}{2}AC$$

Сначала найдём длину стороны $AC$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Координаты точек: $A(3; -5; 0)$ и $C(-3; 9; -6)$.

$$AC = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (9 - (-5))^2 + (-6 - 0)^2}$$

$$AC = \sqrt{(-6)^2 + (14)^2 + (-6)^2}$$

$$AC = \sqrt{36 + 196 + 36} = \sqrt{268}$$

Упростим полученное значение: $\sqrt{268} = \sqrt{4 \cdot 67} = 2\sqrt{67}$.

Теперь вычислим длину средней линии $MN$:

$$MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{67} = \sqrt{67}$$

Способ 2: Нахождение координат середин сторон и расстояния между ними

1. Найдём координаты точки $M$ — середины стороны $AB$. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Для точек $A(3; -5; 0)$ и $B(7; 1; 4)$:

$$x_M = \frac{3 + 7}{2} = 5$$

$$y_M = \frac{-5 + 1}{2} = -2$$

$$z_M = \frac{0 + 4}{2} = 2$$

Таким образом, координаты точки $M(5; -2; 2)$.

2. Найдём координаты точки $N$ — середины стороны $BC$.

Для точек $B(7; 1; 4)$ и $C(-3; 9; -6)$:

$$x_N = \frac{7 + (-3)}{2} = 2$$

$$y_N = \frac{1 + 9}{2} = 5$$

$$z_N = \frac{4 + (-6)}{2} = -1$$

Таким образом, координаты точки $N(2; 5; -1)$.

3. Найдём длину отрезка $MN$ по формуле расстояния между точками $M$ и $N$.

$$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2}$$

$$MN = \sqrt{(2 - 5)^2 + (5 - (-2))^2 + (-1 - 2)^2}$$

$$MN = \sqrt{(-3)^2 + 7^2 + (-3)^2}$$

$$MN = \sqrt{9 + 49 + 9} = \sqrt{67}$$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\sqrt{67}$

20. Найдите координаты точек $A$ и $B$ и отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит оси $y$, точка $B$ лежит в плоскости $xz$ и точка $C(-2; 1; -3)$ — середина отрезка $AB$.

20. Найдите координаты точек $A$ и $B$ и отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит оси $y$, точка $B$ лежит в плоскости $xz$ и точка $C(-2; 1; -3)$ — середина отрезка $AB$.

Для решения задачи воспользуемся определениями координат точек, принадлежащих осям и плоскостям, а также формулами для нахождения координат середины отрезка и его длины.

Координаты точек А и В

Пусть искомые точки имеют координаты $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$.

По условию, точка А принадлежит оси $y$. Это означает, что ее координаты по осям $x$ и $z$ равны нулю. Следовательно, $x_A = 0$ и $z_A = 0$. Координаты точки А: $A(0, y_A, 0)$.

Точка B лежит в плоскости $xz$. Это означает, что ее координата по оси $y$ равна нулю. Следовательно, $y_B = 0$. Координаты точки B: $B(x_B, 0, z_B)$.

Точка $C(-2; 1; -3)$ является серединой отрезка AB. Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов. Запишем формулы для каждой координаты:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

$z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$

Подставим известные значения и найдем неизвестные координаты $y_A$, $x_B$ и $z_B$:

$-2 = \frac{0 + x_B}{2} \implies x_B = -2 \cdot 2 = -4$
$1 = \frac{y_A + 0}{2} \implies y_A = 1 \cdot 2 = 2$
$-3 = \frac{0 + z_B}{2} \implies z_B = -3 \cdot 2 = -6$

Таким образом, мы определили координаты точек A и B.

Ответ: $A(0; 2; 0)$, $B(-4; 0; -6)$.

Отрезок AB

Теперь найдем длину отрезка AB, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Подставим найденные координаты точек $A(0; 2; 0)$ и $B(-4; 0; -6)$:

$|AB| = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (-6 - 0)^2}$
$|AB| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-6)^2}$
$|AB| = \sqrt{16 + 4 + 36}$
$|AB| = \sqrt{56}$

Упростим полученное значение, вынеся множитель из-под знака корня:

$|AB| = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$

Ответ: $2\sqrt{14}$.