Номер 18, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Точки $A_1 (-4; 3; -2)$ и $C_1 (3; -1; -2)$ — середины сторон $BC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $B$ и $C$, если вершина $A$ имеет координаты $(5; 3; -6)$.

18. Точки $A_1 (-4; 3; -2)$ и $C_1 (3; -1; -2)$ — середины сторон $BC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $B$ и $C$, если вершина $A$ имеет координаты $(5; 3; -6)$.

Пусть координаты вершин треугольника будут $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$ и $C(x_C; y_C; z_C)$. По условию задачи нам даны координаты вершины $A(5; 3; -6)$, середины стороны $BC$ — точки $A_1(-4; 3; -2)$, и середины стороны $AB$ — точки $C_1(3; -1; -2)$.

Координаты $(x_M; y_M; z_M)$ середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$, $z_M = \frac{z_1 + z_2}{2}$.

Из этих формул можно выразить координаты одного из концов отрезка, если известны координаты другого конца и середины:
$x_2 = 2x_M - x_1$, $y_2 = 2y_M - y_1$, $z_2 = 2z_M - z_1$.

Сначала найдем координаты вершины $B$. Точка $C_1$ является серединой отрезка $AB$. Используя известные координаты точки $A(5; 3; -6)$ и середины $C_1(3; -1; -2)$, найдем координаты точки $B(x_B; y_B; z_B)$:
$x_B = 2x_{C1} - x_A = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$
$y_B = 2y_{C1} - y_A = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$
$z_B = 2z_{C1} - z_A = 2 \cdot (-2) - (-6) = -4 + 6 = 2$
Таким образом, координаты вершины $B$ — $(1; -5; 2)$.

Теперь найдем координаты вершины $C$. Точка $A_1$ является серединой отрезка $BC$. Используя найденные координаты точки $B(1; -5; 2)$ и известные координаты середины $A_1(-4; 3; -2)$, найдем координаты точки $C(x_C; y_C; z_C)$:
$x_C = 2x_{A1} - x_B = 2 \cdot (-4) - 1 = -8 - 1 = -9$
$y_C = 2y_{A1} - y_B = 2 \cdot 3 - (-5) = 6 + 5 = 11$
$z_C = 2z_{A1} - z_B = 2 \cdot (-2) - 2 = -4 - 2 = -6$
Таким образом, координаты вершины $C$ — $(-9; 11; -6)$.

Ответ: $B(1; -5; 2)$, $C(-9; 11; -6)$.