Номер 23, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Докажите, что точки $A (5; 6; 7)$, $B (-1; -1; -4)$ и $C (11; 13; 18)$ лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

23. Докажите, что точки $A (5; 6; 7)$, $B (-1; -1; -4)$ и $C (11; 13; 18)$ лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

Докажите, что точки A (5; 6; 7), B (-1; -1; -4) и C (11; 13; 18) лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что три точки лежат на одной прямой, достаточно показать, что векторы, образованные этими точками (например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$), коллинеарны. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.
Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке A(5; 6; 7) и концом в точке B(-1; -1; -4):
$\vec{AB} = (-1 - 5; -1 - 6; -4 - 7) = (-6; -7; -11)$.
Для вектора $\vec{AC}$ с началом в точке A(5; 6; 7) и концом в точке C(11; 13; 18):
$\vec{AC} = (11 - 5; 13 - 6; 18 - 7) = (6; 7; 11)$.

2. Проверим пропорциональность координат векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Для этого найдем отношение их соответствующих координат:
$\frac{x_{AC}}{x_{AB}} = \frac{6}{-6} = -1$
$\frac{y_{AC}}{y_{AB}} = \frac{7}{-7} = -1$
$\frac{z_{AC}}{z_{AB}} = \frac{11}{-11} = -1$

Так как отношение для всех пар координат одинаково и равно -1, то векторы коллинеарны, и выполняется соотношение $\vec{AC} = -1 \cdot \vec{AB}$. Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны и имеют общую точку A, то все три точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Точки A, B и C лежат на одной прямой, так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны.

Какая из этих точек лежит между двумя другими?

Чтобы определить, какая из точек лежит между двумя другими, можно использовать два способа.

Способ 1: Анализ векторов.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $\vec{AC} = -\vec{AB}$. Это равенство означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ имеют одинаковую длину (модуль) и направлены в противоположные стороны. Если из одной точки (A) выходят два противоположно направленных вектора, то эта точка (A) лежит между концами этих векторов (B и C).

Способ 2: Сравнение расстояний между точками.
Если точки лежат на одной прямой, то длина самого большого отрезка равна сумме длин двух других. Найдем длины отрезков AB, AC и BC. Длина отрезка равна модулю соответствующего вектора: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
$|AB| = |\vec{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + (-7)^2 + (-11)^2} = \sqrt{36 + 49 + 121} = \sqrt{206}$.
$|AC| = |\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 7^2 + 11^2} = \sqrt{36 + 49 + 121} = \sqrt{206}$.
Найдем вектор $\vec{BC}$:
$\vec{BC} = (11 - (-1); 13 - (-1); 18 - (-4)) = (12; 14; 22)$.
$|BC| = |\vec{BC}| = \sqrt{12^2 + 14^2 + 22^2} = \sqrt{144 + 196 + 484} = \sqrt{824} = \sqrt{4 \cdot 206} = 2\sqrt{206}$.

Теперь сравним длины отрезков:
$|AB| + |AC| = \sqrt{206} + \sqrt{206} = 2\sqrt{206}$.
Получили, что $|AB| + |AC| = |BC|$. Это равенство подтверждает, что точка A лежит между точками B и C.

Ответ: Точка A лежит между точками B и C.