Номер 20, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. Найдите координаты точек $A$ и $B$ и отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит оси $y$, точка $B$ лежит в плоскости $xz$ и точка $C(-2; 1; -3)$ — середина отрезка $AB$.

20. Найдите координаты точек $A$ и $B$ и отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит оси $y$, точка $B$ лежит в плоскости $xz$ и точка $C(-2; 1; -3)$ — середина отрезка $AB$.

Для решения задачи воспользуемся определениями координат точек, принадлежащих осям и плоскостям, а также формулами для нахождения координат середины отрезка и его длины.

Координаты точек А и В

Пусть искомые точки имеют координаты $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$.

По условию, точка А принадлежит оси $y$. Это означает, что ее координаты по осям $x$ и $z$ равны нулю. Следовательно, $x_A = 0$ и $z_A = 0$. Координаты точки А: $A(0, y_A, 0)$.

Точка B лежит в плоскости $xz$. Это означает, что ее координата по оси $y$ равна нулю. Следовательно, $y_B = 0$. Координаты точки B: $B(x_B, 0, z_B)$.

Точка $C(-2; 1; -3)$ является серединой отрезка AB. Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов. Запишем формулы для каждой координаты:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

$z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$

Подставим известные значения и найдем неизвестные координаты $y_A$, $x_B$ и $z_B$:

$-2 = \frac{0 + x_B}{2} \implies x_B = -2 \cdot 2 = -4$
$1 = \frac{y_A + 0}{2} \implies y_A = 1 \cdot 2 = 2$
$-3 = \frac{0 + z_B}{2} \implies z_B = -3 \cdot 2 = -6$

Таким образом, мы определили координаты точек A и B.

Ответ: $A(0; 2; 0)$, $B(-4; 0; -6)$.

Отрезок AB

Теперь найдем длину отрезка AB, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Подставим найденные координаты точек $A(0; 2; 0)$ и $B(-4; 0; -6)$:

$|AB| = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (-6 - 0)^2}$
$|AB| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-6)^2}$
$|AB| = \sqrt{16 + 4 + 36}$
$|AB| = \sqrt{56}$

Упростим полученное значение, вынеся множитель из-под знака корня:

$|AB| = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$

Ответ: $2\sqrt{14}$.