Номер 25, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Начертите призму $ABCA_1B_1C_1$. Отложите:

1) от точки B вектор, равный вектору $\vec{B_1B}$;

2) от точки A вектор, равный вектору $\vec{B_1A_1}$;

3) от точки C вектор, равный вектору $\vec{A_1B_1}$.

25. Начертите призму $ABCA_1B_1C_1$. Отложите:

1) от точки B вектор, равный вектору $\vec{B_1B}$;

2) от точки A вектор, равный вектору $\vec{B_1A_1}$;

3) от точки C вектор, равный вектору $\vec{A_1B_1}$.

Сначала начертим произвольную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. Основаниями призмы являются равные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, которые лежат в параллельных плоскостях. Боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ параллельны и равны между собой. Боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $ACC_1A_1$) являются параллелограммами.

Из свойств призмы следуют следующие векторные равенства:

• $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1}$
• $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_1C_1}$, $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{C_1A_1}$

Два вектора равны, если они сонаправлены и их длины равны. Отложить от точки $P$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{MN}$, означает построить такой вектор $\overrightarrow{PQ}$, что $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MN}$. Это эквивалентно построению точки $Q$ такой, что четырехугольник $MNQP$ является параллелограммом.

1) от точки B вектор, равный вектору $\overrightarrow{B_1B}$

Нам нужно отложить от точки $B$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{B_1B}$. Обозначим искомый вектор как $\overrightarrow{BD}$. Таким образом, $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B_1B}$.

Вектор $\overrightarrow{B_1B}$ противоположен вектору $\overrightarrow{BB_1}$. Из свойств призмы мы знаем, что $\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{AA_1}$. Следовательно, $\overrightarrow{B_1B} = -\overrightarrow{BB_1} = -\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1A}$.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы отложить от точки $B$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{A_1A}$. То есть, нам нужно найти точку $D$ такую, что $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{A_1A}$. Равенство этих векторов означает, что четырехугольник $A_1ABD$ является параллелограммом. Для этого нужно из точки $B$ провести отрезок $BD$ параллельно и равный по длине отрезку $A_1A$, так чтобы векторы $\overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{A_1A}$ были сонаправлены.

Ответ: Искомый вектор – это вектор $\overrightarrow{BD}$, где точка $D$ построена так, что четырехугольник $A_1ABD$ является параллелограммом.

2) от точки A вектор, равный вектору $\overrightarrow{B_1A_1}$

Нам нужно отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{B_1A_1}$. Обозначим искомый вектор как $\overrightarrow{AD}$. Таким образом, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B_1A_1}$.

Поскольку основания призмы параллельны и равны, соответствующие стороны оснований задают равные векторы: $\overrightarrow{B_1A_1} = \overrightarrow{BA}$.

Следовательно, нам нужно построить вектор $\overrightarrow{AD}$ такой, что $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA}$. Это означает, что векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BA}$ сонаправлены и равны по длине. Точки $D$, $A$, $B$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ является серединой отрезка $DB$. Для построения нужно продлить отрезок $BA$ за точку $A$ на расстояние, равное длине $BA$.

Ответ: Искомый вектор – это вектор $\overrightarrow{AD}$, где точка $D$ такова, что точка $A$ является серединой отрезка $DB$.

3) от точки C вектор, равный вектору $\overrightarrow{A_1B_1}$

Нам нужно отложить от точки $C$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{A_1B_1}$. Обозначим искомый вектор как $\overrightarrow{CD}$. Таким образом, $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{A_1B_1}$.

Из свойств призмы известно, что $\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{AB}$.

Следовательно, нам нужно найти точку $D$ такую, что $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$. Равенство векторов $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{AB}$ означает, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. Для построения нужно из точки $C$ провести отрезок $CD$ параллельно и равный по длине отрезку $AB$, так чтобы векторы $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{AB}$ были сонаправлены.

Ответ: Искомый вектор – это вектор $\overrightarrow{CD}$, где точка $D$ построена так, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.