Номер 19, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Даны точки $A(3; -5; 0)$, $B(7; 1; 4)$, $C(-3; 9; -6)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

19. Даны точки $A (3; -5; 0)$, $B (7; 1; 4)$, $C (-3; 9; -6)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

Чтобы найти длину средней линии $MN$ треугольника $ABC$, можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Использование свойства средней линии треугольника

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. В данном случае средняя линия $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, её длина равна половине длины стороны $AC$.

$$MN = \frac{1}{2}AC$$

Сначала найдём длину стороны $AC$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Координаты точек: $A(3; -5; 0)$ и $C(-3; 9; -6)$.

$$AC = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (9 - (-5))^2 + (-6 - 0)^2}$$

$$AC = \sqrt{(-6)^2 + (14)^2 + (-6)^2}$$

$$AC = \sqrt{36 + 196 + 36} = \sqrt{268}$$

Упростим полученное значение: $\sqrt{268} = \sqrt{4 \cdot 67} = 2\sqrt{67}$.

Теперь вычислим длину средней линии $MN$:

$$MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{67} = \sqrt{67}$$

Способ 2: Нахождение координат середин сторон и расстояния между ними

1. Найдём координаты точки $M$ — середины стороны $AB$. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Для точек $A(3; -5; 0)$ и $B(7; 1; 4)$:

$$x_M = \frac{3 + 7}{2} = 5$$

$$y_M = \frac{-5 + 1}{2} = -2$$

$$z_M = \frac{0 + 4}{2} = 2$$

Таким образом, координаты точки $M(5; -2; 2)$.

2. Найдём координаты точки $N$ — середины стороны $BC$.

Для точек $B(7; 1; 4)$ и $C(-3; 9; -6)$:

$$x_N = \frac{7 + (-3)}{2} = 2$$

$$y_N = \frac{1 + 9}{2} = 5$$

$$z_N = \frac{4 + (-6)}{2} = -1$$

Таким образом, координаты точки $N(2; 5; -1)$.

3. Найдём длину отрезка $MN$ по формуле расстояния между точками $M$ и $N$.

$$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2}$$

$$MN = \sqrt{(2 - 5)^2 + (5 - (-2))^2 + (-1 - 2)^2}$$

$$MN = \sqrt{(-3)^2 + 7^2 + (-3)^2}$$

$$MN = \sqrt{9 + 49 + 9} = \sqrt{67}$$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\sqrt{67}$