Номер 21, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Точки $A(3; -8; 6)$ и $B$ симметричны относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $xy$.

Найдите отрезок $AB$.

21. Точки $A (3; -8; 6)$ и $B$ симметричны относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $xy$.

Найдите отрезок $AB$.

1)

Дана точка $A(3; -8; 6)$. Точка $B$ симметрична точке $A$ относительно начала координат $O(0; 0; 0)$. При симметрии относительно начала координат каждая координата точки меняет свой знак на противоположный. Если координаты точки $A$ равны $(x; y; z)$, то координаты симметричной ей точки $B$ будут $(-x; -y; -z)$. Следовательно, координаты точки $B$ равны $(-3; -(-8); -6)$, то есть $B(-3; 8; -6)$.

Длину отрезка $AB$ найдем по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Подставим координаты точек $A(3; -8; 6)$ и $B(-3; 8; -6)$: $|AB| = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (8 - (-8))^2 + (-6 - 6)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (16)^2 + (-12)^2}$

$|AB| = \sqrt{36 + 256 + 144} = \sqrt{436}$

Упростим корень: $\sqrt{436} = \sqrt{4 \cdot 109} = 2\sqrt{109}$.

Ответ: $2\sqrt{109}$

2)

Дана точка $A(3; -8; 6)$. Точка $B$ симметрична точке $A$ относительно плоскости $xy$. При симметрии относительно плоскости $xy$ координаты $x$ и $y$ точки остаются неизменными, а координата $z$ меняет свой знак на противоположный. Если координаты точки $A$ равны $(x; y; z)$, то координаты симметричной ей точки $B$ будут $(x; y; -z)$. Следовательно, координаты точки $B$ равны $(3; -8; -6)$.

Найдем длину отрезка $AB$ по той же формуле расстояния между двумя точками: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Подставим координаты точек $A(3; -8; 6)$ и $B(3; -8; -6)$: $|AB| = \sqrt{(3 - 3)^2 + (-8 - (-8))^2 + (-6 - 6)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-12)^2}$

$|AB| = \sqrt{144} = 12$

Ответ: $12$