Номер 15, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Найдите координаты точек, симметричных точкам $B (-2; 1; -3)$, $C (5; 1; 9)$ и $E (10; 0; -3)$ относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $xz$.

15. Найдите координаты точек, симметричных точкам $B(-2; 1; -3)$, $C(5; 1; 9)$ и $E(10; 0; -3)$ относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $xz$.

1) начала координат

Точка, симметричная точке $P(x; y; z)$ относительно начала координат $O(0; 0; 0)$, имеет координаты $P'(-x; -y; -z)$. Это означает, что для нахождения координат симметричной точки нужно изменить знак каждой координаты исходной точки на противоположный.

Найдем координаты точек, симметричных точкам $B$, $C$ и $E$ относительно начала координат:

• Для точки $B(-2; 1; -3)$ симметричной будет точка $B'$ с координатами $(-(-2); -1; -(-3))$, то есть $B'(2; -1; 3)$.
• Для точки $C(5; 1; 9)$ симметричной будет точка $C'$ с координатами $(-5; -1; -9)$.
• Для точки $E(10; 0; -3)$ симметричной будет точка $E'$ с координатами $(-10; -0; -(-3))$, то есть $E'(-10; 0; 3)$.

Ответ: $B'(2; -1; 3)$, $C'(-5; -1; -9)$, $E'(-10; 0; 3)$.

2) плоскости xz

Точка, симметричная точке $P(x; y; z)$ относительно плоскости $xz$, имеет координаты $P''(x; -y; z)$. Это означает, что координаты $x$ и $z$ остаются без изменений, а координата $y$ меняет свой знак на противоположный.

Найдем координаты точек, симметричных точкам $B$, $C$ и $E$ относительно плоскости $xz$:

• Для точки $B(-2; 1; -3)$ симметричной будет точка $B''$ с координатами $(-2; -1; -3)$.
• Для точки $C(5; 1; 9)$ симметричной будет точка $C''$ с координатами $(5; -1; 9)$.
• Для точки $E(10; 0; -3)$ симметричной будет точка $E''$ с координатами $(10; -0; -3)$, то есть $E''(10; 0; -3)$. Так как у точки $E$ координата $y$ равна нулю, она лежит в плоскости $xz$ и, следовательно, симметрична самой себе относительно этой плоскости.

Ответ: $B''(-2; -1; -3)$, $C''(5; -1; 9)$, $E''(10; 0; -3)$.