Номер 17, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. Найдите координаты вершины $B$ параллелограмма $ABCD$, если $A (-3; 8; -5)$, $C (-7; 6; 7)$, $D (4; -2; -3)$.

17. Найдите координаты вершины $B$ параллелограмма $ABCD$, если $A(-3; 8; -5)$, $C(-7; 6; 7)$, $D(4; -2; -3)$.

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это свойство означает, что середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD. Мы можем использовать это для нахождения координат вершины B.

Пусть координаты искомой вершины B будут $(x_B; y_B; z_B)$.

1. Найдем координаты точки O — середины диагонали AC. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Используем координаты точек A(−3; 8; −5) и C(−7; 6; 7):
$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-3 + (-7)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$z_O = \frac{z_A + z_C}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей O равны (−5; 7; 1).

2. Точка O(−5; 7; 1) также является серединой диагонали BD. Используя координаты точки D(4; −2; −3), составим уравнения для нахождения координат точки B:
$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \implies -5 = \frac{x_B + 4}{2}$
$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \implies 7 = \frac{y_B + (-2)}{2}$
$z_O = \frac{z_B + z_D}{2} \implies 1 = \frac{z_B + (-3)}{2}$

3. Решим полученные уравнения относительно координат точки B:
$x_B + 4 = -5 \cdot 2 \implies x_B + 4 = -10 \implies x_B = -14$
$y_B - 2 = 7 \cdot 2 \implies y_B - 2 = 14 \implies y_B = 16$
$z_B - 3 = 1 \cdot 2 \implies z_B - 3 = 2 \implies z_B = 5$
Следовательно, искомые координаты вершины B: (−14; 16; 5).

Ответ: B(−14; 16; 5).