Номер 24, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. На рисунке 13 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли утверждение:

1) $\vec{A_1D_1} \parallel \vec{CB}$;
2) $\vec{A_1D_1} \uparrow\uparrow \vec{DA}$;
3) $\vec{A_1D_1} \uparrow\uparrow \vec{BC}$;
4) $\vec{A_1D_1} \uparrow\downarrow \vec{C_1B_1}$;
5) $|\vec{AB_1}| = |\vec{D_1C}|$;

6) $\vec{A_1D_1} = \vec{D_1C_1}$;
7) $\vec{A_1D_1} = \vec{D_1A_1}$;
8) $\vec{A_1D_1} = \vec{BC}$;
9) $\vec{B_1C} = \vec{A_1D}$?

Рис. 13

24. На рисунке 13 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли утверждение:

Рис. 13

1) $\vec{A_1D_1} \parallel \vec{CB};$

2) $\vec{A_1D_1} \uparrow\uparrow \vec{DA};$

3) $\vec{A_1D_1} \uparrow\uparrow \vec{BC};$

4) $\vec{A_1D_1} \uparrow\downarrow \vec{C_1B_1};$

5) $|\vec{AB_1}| = |\vec{D_1C}|;$

6) $\vec{A_1D_1} = \vec{D_1C_1};$

7) $\vec{A_1D_1} = \vec{D_1A_1};$

8) $\vec{A_1D_1} = \vec{BC};$

9) $\vec{B_1C} = \vec{A_1D}?$

1) $\overrightarrow{A_1D_1} \parallel \overrightarrow{CB}$

Векторы называются коллинеарными (параллельными), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Прямая $A_1D_1$ параллельна прямой $AD$ (как противоположные стороны грани $ADD_1A_1$). Прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ (как противоположные стороны грани $ABCD$). Следовательно, по свойству транзитивности, прямая $A_1D_1$ параллельна прямой $BC$. Вектор $\overrightarrow{A_1D_1}$ лежит на прямой $A_1D_1$, а вектор $\overrightarrow{CB}$ лежит на прямой $BC$. Так как эти прямые параллельны, векторы являются коллинеарными. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

2) $\overrightarrow{A_1D_1} \uparrow\uparrow \overrightarrow{DA}$

Векторы называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону. Как мы выяснили, прямые $A_1D_1$ и $AD$ (на которой лежит вектор $\overrightarrow{DA}$) параллельны, значит векторы коллинеарны. Вектор $\overrightarrow{A_1D_1}$ сонаправлен вектору $\overrightarrow{AD}$ (так как $ADD_1A_1$ - грань, и перемещение от $A_1$ к $D_1$ аналогично перемещению от $A$ к $D$). Вектор $\overrightarrow{DA}$ имеет направление, противоположное направлению вектора $\overrightarrow{AD}$. Следовательно, векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{DA}$ направлены в противоположные стороны. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

3) $\overrightarrow{A_1D_1} \uparrow\uparrow \overrightarrow{BC}$

Векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{BC}$ коллинеарны (см. пункт 1). Вектор $\overrightarrow{A_1D_1}$ сонаправлен вектору $\overrightarrow{AD}$. Вектор $\overrightarrow{BC}$ также сонаправлен вектору $\overrightarrow{AD}$ (как векторы на противоположных сторонах грани $ABCD$). Так как оба вектора, $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{BC}$, сонаправлены одному и тому же вектору $\overrightarrow{AD}$, они сонаправлены между собой. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

4) $\overrightarrow{A_1D_1} \uparrow\downarrow \overrightarrow{C_1B_1}$

Векторы называются противоположно направленными, если они коллинеарны и направлены в разные стороны. Векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{C_1B_1}$ лежат на параллельных прямых, так как $A_1D_1$ и $C_1B_1$ - противоположные ребра грани $A_1B_1C_1D_1$. Вектор $\overrightarrow{A_1D_1}$ сонаправлен вектору $\overrightarrow{B_1C_1}$. Вектор $\overrightarrow{C_1B_1}$ противоположен вектору $\overrightarrow{B_1C_1}$. Следовательно, векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{C_1B_1}$ являются противоположно направленными. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

5) $|\overrightarrow{AB_1}| = |\overrightarrow{D_1C}|$

Модуль вектора - это его длина. $|\overrightarrow{AB_1}|$ - это длина отрезка $AB_1$, который является диагональю грани $ABB_1A_1$. $|\overrightarrow{D_1C}|$ - это длина отрезка $D_1C$, который является диагональю грани $DCC_1D_1$. Все грани куба - равные квадраты. Следовательно, их диагонали равны. Если ребро куба равно $a$, то длина диагонали грани равна $\sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Таким образом, длины векторов равны. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

6) $\overrightarrow{A_1D_1} = \overrightarrow{D_1C_1}$

Векторы равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{D_1C_1}$ представляют собой смежные ребра грани-квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Они перпендикулярны друг другу, следовательно, не являются сонаправленными (и даже не коллинеарными). Поэтому они не могут быть равны. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

7) $\overrightarrow{A_1D_1} = \overrightarrow{D_1A_1}$

Векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{D_1A_1}$ имеют одинаковую длину (равную длине ребра куба), но их направления противоположны. Равными они быть не могут, так как $\overrightarrow{D_1A_1} = -\overrightarrow{A_1D_1}$, а ненулевой вектор не равен своему противоположному вектору. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

8) $\overrightarrow{A_1D_1} = \overrightarrow{BC}$

Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны. Длины векторов $|\overrightarrow{A_1D_1}|$ и $|\overrightarrow{BC}|$ равны, так как это длины ребер куба. В пункте 3 было установлено, что векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{BC}$ сонаправлены. Так как оба условия выполняются, векторы равны. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

9) $\overrightarrow{B_1C} = \overrightarrow{A_1D}$?

Чтобы проверить равенство векторов $\overrightarrow{B_1C}$ и $\overrightarrow{A_1D}$, рассмотрим четырехугольник $A_1B_1CD$. Его противоположные стороны $A_1B_1$ и $DC$ являются ребрами куба, они параллельны и равны по длине. Векторы $\overrightarrow{A_1B_1}$ и $\overrightarrow{DC}$ сонаправлены. Следовательно, $\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{DC}$. Если в четырехугольнике два противоположных вектора равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. В параллелограмме векторы, соответствующие другой паре противоположных сторон, также равны. Значит, $\overrightarrow{A_1D} = \overrightarrow{B_1C}$. Утверждение верно.

Ответ: Да, верно.