Страница 48 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Даны точки A $(2; 0; 1)$, B $(-5; -2; -3)$ и C $(-6; -5; -4)$.

Найдите на оси x такую точку D, чтобы векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$ были перпендикулярны.

84. Даны точки A (2; 0; 1), B (-5; -2; -3) и C (-6; -5; -4).

Найдите на оси x такую точку D, чтобы векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ были перпендикулярны.

По условию задачи даны точки $A(2; 0; 1)$, $B(–5; –2; –3)$ и $C(–6; –5; –4)$. Необходимо найти точку D на оси x, такую, чтобы векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ были перпендикулярны.

Поскольку точка D лежит на оси x, ее координаты y и z равны нулю. Таким образом, координаты точки D можно записать как $D(x; 0; 0)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (x - 2; 0 - 0; 0 - 1) = (x - 2; 0; -1)$.

Координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-6 - (-5); -5 - (-2); -4 - (-3)) = (-1; -3; -1)$.

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1, a_2, a_3)$ и $\vec{b}(b_1, b_2, b_3)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.

Применим это условие к векторам $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0$

$(x - 2) \cdot (-1) + 0 \cdot (-3) + (-1) \cdot (-1) = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно x:

$-(x - 2) + 0 + 1 = 0$

$-x + 2 + 1 = 0$

$-x + 3 = 0$

$x = 3$

Следовательно, абсцисса точки D равна 3. Координаты точки D: $(3; 0; 0)$.

Ответ: D(3; 0; 0).

85. Найдите координаты вектора $\vec{a}$, коллинеарного вектору $\vec{b}(2; -5; -1)$, если $\vec{a} \cdot \vec{b} = -90$.

85. Найдите координаты вектора $\vec{a}$, коллинеарного вектору $\vec{b}$ (2; -5; -1), если $\vec{a} \cdot \vec{b} = -90$.

Поскольку вектор $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{b}(2; -5; -1)$, то существует такое действительное число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Это означает, что координаты вектора $\vec{a}$ можно выразить через координаты вектора $\vec{b}$ и коэффициент $k$:

$\vec{a} = (k \cdot 2; k \cdot (-5); k \cdot (-1)) = (2k; -5k; -k)$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_a; y_a; z_a)$ и $\vec{b}(x_b; y_b; z_b)$ вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$

По условию задачи, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -90$. Подставим выражения для координат векторов в формулу скалярного произведения:

$(2k) \cdot 2 + (-5k) \cdot (-5) + (-k) \cdot (-1) = -90$

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$:

$4k + 25k + k = -90$

$30k = -90$

$k = \frac{-90}{30}$

$k = -3$

Найдя значение $k$, мы можем определить координаты вектора $\vec{a}$, подставив $k = -3$ в его координатное представление:

$x_a = 2k = 2 \cdot (-3) = -6$

$y_a = -5k = -5 \cdot (-3) = 15$

$z_a = -k = -(-3) = 3$

Следовательно, искомые координаты вектора $\vec{a}$ равны $(-6; 15; 3)$.

Ответ: $(-6; 15; 3)$.

86. Даны векторы $ \vec{c} (1; -2; 8) $ и $ \vec{d} (3; 1; -4) $. Найдите значение $ n $, при котором векторы $ n\vec{c} + \vec{d} $ и $ \vec{c} $ будут перпендикулярны.

86. Даны векторы $\vec{c} (1; -2; 8)$ и $\vec{d} (3; 1; -4)$. Найдите значение $n$, при котором векторы $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ будут перпендикулярны.

Даны векторы $\vec{c} (1; -2; 8)$ и $\vec{d} (3; 1; -4)$.

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Векторы, о которых идет речь в задаче, это $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$. Следовательно, для их перпендикулярности должно выполняться условие:

$(n\vec{c} + \vec{d}) \cdot \vec{c} = 0$

Сначала найдем координаты вектора $n\vec{c} + \vec{d}$.

1. Умножим вектор $\vec{c}$ на скаляр $n$:

$n\vec{c} = n(1; -2; 8) = (n \cdot 1; n \cdot (-2); n \cdot 8) = (n; -2n; 8n)$

2. Сложим векторы $n\vec{c}$ и $\vec{d}$:

$n\vec{c} + \vec{d} = (n; -2n; 8n) + (3; 1; -4) = (n+3; -2n+1; 8n-4)$

Теперь, когда у нас есть координаты обоих векторов, мы можем вычислить их скалярное произведение. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Подставим координаты векторов $n\vec{c} + \vec{d} = (n+3; -2n+1; 8n-4)$ и $\vec{c} = (1; -2; 8)$ в уравнение скалярного произведения:

$(n+3) \cdot 1 + (-2n+1) \cdot (-2) + (8n-4) \cdot 8 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение относительно $n$:

$n + 3 + 4n - 2 + 64n - 32 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(n + 4n + 64n) + (3 - 2 - 32) = 0$

$69n - 31 = 0$

$69n = 31$

$n = \frac{31}{69}$

Таким образом, при $n = \frac{31}{69}$ векторы $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ будут перпендикулярны.

Ответ: $n = \frac{31}{69}$.

87. Даны точки $A (2; 2; 1)$, $B (3; 5; 4)$, $C (-1; -10; -14)$ и $D (-4; 6; -1)$. Докажите, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

87. Даны точки $A (2; 2; 1)$, $B (3; 5; 4)$, $C (-1; -10; -14)$ и $D (-4; 6; -1)$. Докажите, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Для того чтобы доказать, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, нужно показать, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых можно взять прямые $AB$ и $AC$.

Это, в свою очередь, эквивалентно тому, что направляющий вектор прямой $AD$, то есть вектор $\vec{AD}$, перпендикулярен векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AD}$, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{AD}$ с началом в точке $A(2; 2; 1)$ и концом в точке $D(-4; 6; -1)$:
$\vec{AD} = (-4 - 2; 6 - 2; -1 - 1) = (-6; 4; -2)$.

Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(2; 2; 1)$ и концом в точке $B(3; 5; 4)$:
$\vec{AB} = (3 - 2; 5 - 2; 4 - 1) = (1; 3; 3)$.

Для вектора $\vec{AC}$ с началом в точке $A(2; 2; 1)$ и концом в точке $C(-1; -10; -14)$:
$\vec{AC} = (-1 - 2; -10 - 2; -14 - 1) = (-3; -12; -15)$.

2. Прежде чем продолжить, убедимся, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не коллинеарны, то есть не лежат на одной прямой. Для этого проверим, пропорциональны ли их координаты:
$\frac{1}{-3} \neq \frac{3}{-12}$ (потому что $-\frac{1}{3} \neq -\frac{1}{4}$).
Так как координаты не пропорциональны, векторы не коллинеарны, и они задают плоскость $ABC$.

3. Теперь вычислим скалярное произведение вектора $\vec{AD}$ с векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Вычислим $\vec{AD} \cdot \vec{AB}$:
$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = (-6) \cdot 1 + 4 \cdot 3 + (-2) \cdot 3 = -6 + 12 - 6 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ перпендикулярны, а значит, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $AB$.

Вычислим $\vec{AD} \cdot \vec{AC}$:
$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = (-6) \cdot (-3) + 4 \cdot (-12) + (-2) \cdot (-15) = 18 - 48 + 30 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AC}$ перпендикулярны, а значит, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $AC$.

Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $AC$) в плоскости $ABC$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: так как скалярные произведения $\vec{AD} \cdot \vec{AB}$ и $\vec{AD} \cdot \vec{AC}$ равны нулю, прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $ABC$, и, следовательно, перпендикулярна самой плоскости $ABC$.

88. Точка B принадлежит биссектору двугранного угла и удалена от его граней на 10 см, а от ребра двугранного угла — на $10\sqrt{2}$ см. Найдите данный двугранный угол.

88. Точка $B$ принадлежит биссектору двугранного угла и удалена от его граней на 10 см, а от ребра двугранного угла — на $10\sqrt{2}$ см. Найдите данный двугранный угол.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $a$ (ребро двугранного угла). Точка $B$ принадлежит биссекторной плоскости этого угла.

По условию задачи, расстояние от точки $B$ до каждой из граней ($\alpha$ и $\beta$) равно 10 см, а расстояние от точки $B$ до ребра $a$ равно $10\sqrt{2}$ см.

Для определения величины двугранного угла необходимо найти его линейный угол. Для этого выполним следующие построения:

1. Из точки $B$ опустим перпендикуляр $BO$ на ребро $a$. Длина этого отрезка равна расстоянию от точки $B$ до ребра, следовательно, $BO = 10\sqrt{2}$ см.

2. Из точки $B$ опустим перпендикуляр $BA$ на плоскость грани $\alpha$. Длина этого отрезка равна расстоянию от точки $B$ до грани, следовательно, $BA = 10$ см.

Теперь рассмотрим получившиеся отрезки. Отрезок $BO$ является наклонной к плоскости $\alpha$, отрезок $BA$ — перпендикуляром к этой плоскости, а отрезок $AO$ — проекцией наклонной $BO$ на плоскость $\alpha$.

Согласно теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($BO$) перпендикулярна прямой ($a$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($AO$) перпендикулярна этой прямой. Так как по построению $BO \perp a$, то и $AO \perp a$.

Поскольку отрезок $BA$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, а прямая $AO$ лежит в этой плоскости, то $BA \perp AO$. Это означает, что треугольник $\triangle ABO$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $A$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABO$ нам известны гипотенуза $BO = 10\sqrt{2}$ см и катет $BA = 10$ см. Мы можем найти синус угла $\angle BOA$:

$ \sin(\angle BOA) = \frac{BA}{BO} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Из этого соотношения следует, что величина угла $\angle BOA = 45^\circ$.

Так как $AO \perp a$ и $BO \perp a$, плоскость, в которой лежит треугольник $\triangle ABO$, перпендикулярна ребру $a$. Это означает, что углы в этой плоскости с вершиной в точке $O$ являются линейными углами. Угол $\angle BOA$ является углом между прямой $BO$, лежащей в биссекторной плоскости, и прямой $AO$, лежащей в грани $\alpha$. Следовательно, угол $\angle BOA$ равен половине искомого двугранного угла.

Пусть искомый двугранный угол равен $\phi$. Тогда:

$ \frac{\phi}{2} = \angle BOA = 45^\circ $

Отсюда находим полную величину двугранного угла:

$ \phi = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ $

Ответ: $90^\circ$.

89. При каком значении $m$ точка $C (-1; 8; m)$ принадлежит плоскости $2x + 3y - 4z + 9 = 0$?

89. При каком значении $m$ точка $C(-1; 8; m)$ принадлежит плоскости $2x + 3y - 4z + 9 = 0$?

Для того чтобы точка C с координатами $(-1; 8; m)$ принадлежала плоскости, заданной уравнением $2x + 3y - 4z + 9 = 0$, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Это означает, что если мы подставим значения $x = -1$, $y = 8$ и $z = m$ в уравнение плоскости, то получим верное равенство.

Выполним подстановку координат точки C в уравнение плоскости:

$2 \cdot (-1) + 3 \cdot 8 - 4 \cdot m + 9 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно переменной $m$.

Сначала вычислим произведения:

$-2 + 24 - 4m + 9 = 0$

Затем сложим все числовые слагаемые:

$(-2 + 24) + 9 - 4m = 0$

$22 + 9 - 4m = 0$

$31 - 4m = 0$

Перенесем слагаемое, содержащее $m$, в правую часть уравнения, изменив его знак:

$31 = 4m$

Чтобы найти $m$, разделим обе части уравнения на 4:

$m = \frac{31}{4}$

Это значение можно также представить в виде десятичной дроби:

$m = 7.75$

Таким образом, точка C(-1; 8; m) принадлежит плоскости при $m = \frac{31}{4}$.

Ответ: $m = \frac{31}{4}$

90. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M(-5; 2; -3)$ и перпендикулярной прямой $AC$, если $A(7; -8; 20)$, $C(5; -2; 16)$.

90. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M (-5; 2; -3)$ и перпендикулярной прямой $AC$, если $A (7; -8; 20)$, $C (5; -2; 16)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, задается формулой: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

По условию задачи, плоскость проходит через точку $M(-5; 2; -3)$.

Так как плоскость перпендикулярна прямой AC, ее нормальный вектор $\vec{n}$ будет коллинеарен (параллелен) направляющему вектору прямой AC, то есть вектору $\vec{AC}$. Найдем координаты вектора $\vec{AC}$, зная координаты точек $A(7; -8; 20)$ и $C(5; -2; 16)$: $\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (5 - 7; -2 - (-8); 16 - 20) = (-2; 6; -4)$.

В качестве нормального вектора $\vec{n}$ можно взять вектор $\vec{AC} = (-2; 6; -4)$. Для упрощения вычислений можно использовать любой коллинеарный ему вектор. Разделим координаты вектора $\vec{AC}$ на -2 и получим более простой нормальный вектор: $\vec{n} = (1; -3; 2)$. Следовательно, коэффициенты в уравнении плоскости: $A = 1$, $B = -3$, $C = 2$.

Теперь подставим координаты точки $M(-5; 2; -3)$ и компоненты нормального вектора $\vec{n}=(1; -3; 2)$ в общее уравнение плоскости: $1 \cdot (x - (-5)) - 3 \cdot (y - 2) + 2 \cdot (z - (-3)) = 0$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить окончательный вид уравнения: $x + 5 - 3y + 6 + 2z + 6 = 0$ $x - 3y + 2z + 17 = 0$.

Ответ: $x - 3y + 2z + 17 = 0$.

91. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору $\vec{m} (-7; 14; -21)$.

91. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору $ \vec{m} (-7; 14; -21) $.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n} = (A; B; C)$, задается формулой:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Из условия задачи известно, что искомая плоскость перпендикулярна вектору $\vec{m} = (-7; 14; -21)$. Это означает, что вектор $\vec{m}$ является вектором нормали к данной плоскости. Следовательно, коэффициенты в уравнении плоскости равны координатам этого вектора:

$A = -7$, $B = 14$, $C = -21$.

Также по условию плоскость проходит через начало координат, то есть через точку с координатами $O(0; 0; 0)$. Таким образом, мы имеем:

$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$.

Теперь подставим известные значения в общее уравнение плоскости:

$-7(x - 0) + 14(y - 0) + (-21)(z - 0) = 0$

Упростим полученное уравнение:

$-7x + 14y - 21z = 0$

Для удобства можно упростить это уравнение, разделив все его члены на их общий делитель. В данном случае все коэффициенты делятся на -7. Выполним деление:

$\frac{-7x}{-7} + \frac{14y}{-7} - \frac{21z}{-7} = \frac{0}{-7}$

$x - 2y + 3z = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Ответ: $x - 2y + 3z = 0$

92. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $E(-4; 0; 0)$ и перпендикулярной оси абсцисс.

92. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $E (-4; 0; 0)$ и перпендикулярной оси абсцисс.

Общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве имеет вид:

$Ax + By + Cz + D = 0$

где вектор $\vec{n} = (A; B; C)$ является вектором нормали к плоскости, то есть вектором, перпендикулярным этой плоскости.

По условию задачи, искомая плоскость перпендикулярна оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости параллелен оси Ox. Направляющий вектор оси Ox — это единичный вектор $\vec{i} = (1; 0; 0)$.

Следовательно, в качестве вектора нормали к плоскости можно взять вектор $\vec{n} = (1; 0; 0)$. Таким образом, коэффициенты в уравнении плоскости будут $A=1$, $B=0$, $C=0$.

Подставим эти значения в общее уравнение плоскости:

$1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z + D = 0$

Уравнение упрощается до вида:

$x + D = 0$

Также по условию известно, что плоскость проходит через точку $E(-4; 0; 0)$. Это значит, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставим координаты точки E в полученное уравнение, чтобы найти коэффициент D:

$x_E + D = 0$

$-4 + D = 0$

Отсюда находим D:

$D = 4$

Теперь подставим найденное значение D обратно в уравнение плоскости:

$x + 4 = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Ответ: $x + 4 = 0$

93. Найдите точки пересечения плоскости $5x + 3y - 9z - 45 = 0$ с осями координат.

93. Найдите точки пересечения плоскости $5x + 3y - 9z - 45 = 0$ с осями координат.

Для нахождения точек пересечения плоскости с осями координат, необходимо поочередно найти точки, в которых две из трех координат равны нулю.

Пересечение с осью абсцисс (Ox)

Все точки, лежащие на оси Ox, имеют координаты $y=0$ и $z=0$. Подставим эти значения в уравнение плоскости $5x + 3y - 9z - 45 = 0$:

$5x + 3(0) - 9(0) - 45 = 0$

$5x - 45 = 0$

$5x = 45$

$x = 9$

Следовательно, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(9, 0, 0)$.

Ответ: $(9, 0, 0)$.

Пересечение с осью ординат (Oy)

Все точки, лежащие на оси Oy, имеют координаты $x=0$ и $z=0$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$5(0) + 3y - 9(0) - 45 = 0$

$3y - 45 = 0$

$3y = 45$

$y = 15$

Следовательно, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 15, 0)$.

Ответ: $(0, 15, 0)$.

Пересечение с осью аппликат (Oz)

Все точки, лежащие на оси Oz, имеют координаты $x=0$ и $y=0$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$5(0) + 3(0) - 9z - 45 = 0$

$-9z - 45 = 0$

$-9z = 45$

$z = -5$

Следовательно, точка пересечения с осью Oz имеет координаты $(0, 0, -5)$.

Ответ: $(0, 0, -5)$.

94. Точки $B (5; 1; -3)$ и $B_1 (-1; 7; -1)$ симметричны относительно плоскости $\beta$. Составьте уравнение этой плоскости.

94. Точки $B (5; 1; -3)$ и $B_1 (-1; 7; -1)$ симметричны относительно плоскости $\beta$. Составьте уравнение этой плоскости.

Поскольку точки $B(5; 1; -3)$ и $B_1(-1; 7; -1)$ симметричны относительно плоскости $\beta$, то эта плоскость является серединным перпендикуляром к отрезку $BB_1$. Это означает, что:
1. Плоскость $\beta$ перпендикулярна вектору $\vec{BB_1}$. Следовательно, вектор $\vec{BB_1}$ является нормальным вектором плоскости $\beta$.
2. Плоскость $\beta$ проходит через середину отрезка $BB_1$.

Найдем координаты нормального вектора $\vec{n}$, который совпадает с вектором $\vec{BB_1}$:
$\vec{n} = \vec{BB_1} = (x_{B_1} - x_B; y_{B_1} - y_B; z_{B_1} - z_B) = (-1 - 5; 7 - 1; -1 - (-3)) = (-6; 6; 2)$.
В качестве нормального вектора можно взять любой коллинеарный вектор. Для упрощения расчетов разделим координаты вектора $\vec{n}$ на 2, получим вектор $\vec{n'} = (-3; 3; 1)$.

Теперь найдем координаты точки $M$ — середины отрезка $BB_1$:
$x_M = \frac{x_B + x_{B_1}}{2} = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_M = \frac{y_B + y_{B_1}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$z_M = \frac{z_B + z_{B_1}}{2} = \frac{-3 + (-1)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(2; 4; -2)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n'} = (A; B; C)$, имеет вид:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
Подставим координаты точки $M(2; 4; -2)$ и нормального вектора $\vec{n'} = (-3; 3; 1)$:
$-3(x - 2) + 3(y - 4) + 1(z - (-2)) = 0$
$-3x + 6 + 3y - 12 + z + 2 = 0$
$-3x + 3y + z - 4 = 0$
Для удобства можно умножить все уравнение на -1:
$3x - 3y - z + 4 = 0$

Ответ: $3x - 3y - z + 4 = 0$

95. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $E(7; 0; -9)$ и параллельной плоскости $2x - y + 4z - 8 = 0$.

95. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $E (7; 0; -9)$ и параллельной плоскости $2x - y + 4z - 8 = 0$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n} = \{A; B; C\}$, задается формулой:$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

По условию, искомая плоскость параллельна плоскости $2x - y + 4z - 8 = 0$. Условие параллельности двух плоскостей заключается в коллинеарности их векторов нормали. Это означает, что в качестве вектора нормали для искомой плоскости можно взять вектор нормали данной плоскости.

Вектор нормали для плоскости $2x - y + 4z - 8 = 0$ имеет координаты, равные коэффициентам при $x, y, z$. Таким образом, $\vec{n} = \{2; -1; 4\}$.

Искомая плоскость проходит через точку $E(7; 0; -9)$. Используем координаты этой точки в качестве $(x_0; y_0; z_0)$.

Подставим координаты точки $E$ и вектора нормали $\vec{n}$ в уравнение плоскости:

$2(x - 7) - 1(y - 0) + 4(z - (-9)) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2x - 14 - y + 4(z + 9) = 0$

$2x - 14 - y + 4z + 36 = 0$

Приведем подобные члены:

$2x - y + 4z + 22 = 0$

Ответ: $2x - y + 4z + 22 = 0$