Номер 94, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Точки $B (5; 1; -3)$ и $B_1 (-1; 7; -1)$ симметричны относительно плоскости $\beta$. Составьте уравнение этой плоскости.

94. Точки $B (5; 1; -3)$ и $B_1 (-1; 7; -1)$ симметричны относительно плоскости $\beta$. Составьте уравнение этой плоскости.

Поскольку точки $B(5; 1; -3)$ и $B_1(-1; 7; -1)$ симметричны относительно плоскости $\beta$, то эта плоскость является серединным перпендикуляром к отрезку $BB_1$. Это означает, что:
1. Плоскость $\beta$ перпендикулярна вектору $\vec{BB_1}$. Следовательно, вектор $\vec{BB_1}$ является нормальным вектором плоскости $\beta$.
2. Плоскость $\beta$ проходит через середину отрезка $BB_1$.

Найдем координаты нормального вектора $\vec{n}$, который совпадает с вектором $\vec{BB_1}$:
$\vec{n} = \vec{BB_1} = (x_{B_1} - x_B; y_{B_1} - y_B; z_{B_1} - z_B) = (-1 - 5; 7 - 1; -1 - (-3)) = (-6; 6; 2)$.
В качестве нормального вектора можно взять любой коллинеарный вектор. Для упрощения расчетов разделим координаты вектора $\vec{n}$ на 2, получим вектор $\vec{n'} = (-3; 3; 1)$.

Теперь найдем координаты точки $M$ — середины отрезка $BB_1$:
$x_M = \frac{x_B + x_{B_1}}{2} = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_M = \frac{y_B + y_{B_1}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$z_M = \frac{z_B + z_{B_1}}{2} = \frac{-3 + (-1)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(2; 4; -2)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n'} = (A; B; C)$, имеет вид:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
Подставим координаты точки $M(2; 4; -2)$ и нормального вектора $\vec{n'} = (-3; 3; 1)$:
$-3(x - 2) + 3(y - 4) + 1(z - (-2)) = 0$
$-3x + 6 + 3y - 12 + z + 2 = 0$
$-3x + 3y + z - 4 = 0$
Для удобства можно умножить все уравнение на -1:
$3x - 3y - z + 4 = 0$

Ответ: $3x - 3y - z + 4 = 0$