Номер 101, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Высота цилиндра равна 6 см, а угол между диагональю осевого сечения и образующей равен 60°. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра и площадь его основания.

101. Высота цилиндра равна 6 см, а угол между диагональю осевого сечения и образующей равен $60^\circ$. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра и площадь его основания.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра (равная образующей) $H$ и диаметр его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника $d$, высота $H$ и диаметр $D$ образуют прямоугольный треугольник, где $H$ и $D$ – катеты, а $d$ – гипотенуза.

По условию задачи, высота $H = 6$ см, а угол между диагональю осевого сечения $d$ и образующей $H$ равен $60^\circ$. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике это угол, прилежащий к катету $H$.

Найти диагональ осевого сечения цилиндра

В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю $d$, высотой $H$ и диаметром $D$, катет $H$ является прилежащим к углу $60^\circ$, а диагональ $d$ — гипотенузой. Их связь можно выразить через косинус угла:

$\cos(60^\circ) = \frac{H}{d}$

Подставим известные значения: $H = 6$ см и $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$\frac{1}{2} = \frac{6}{d}$

Из этого уравнения находим диагональ $d$:

$d = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

Найти площадь его основания

Площадь основания цилиндра (которое является кругом) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ – радиус основания. Чтобы найти радиус, сначала определим диаметр основания $D$.

В том же прямоугольном треугольнике диаметр $D$ является катетом, противолежащим углу $60^\circ$. Связь между катетами и углом выражается через тангенс:

$\tan(60^\circ) = \frac{D}{H}$

Подставим известные значения: $H = 6$ см и $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$\sqrt{3} = \frac{D}{6}$

Отсюда находим диаметр $D$:

$D = 6\sqrt{3}$ см.

Радиус основания $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi (3\sqrt{3})^2 = \pi (9 \cdot 3) = 27\pi$ см$^2$.

Ответ: $27\pi$ см$^2$.