Номер 105, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а угол между диагоналями — $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если большая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

105. Прямоугольник ABCD является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а угол между диагоналями — 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если большая сторона прямоугольника ABCD является высотой цилиндра.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$, который является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Его диагонали, например $AC$ и $BD$, равны 10 см и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, отрезки $AO$, $BO$, $CO$, $DO$ равны $10 / 2 = 5$ см.

Диагонали прямоугольника образуют при пересечении две пары вертикальных углов. По условию, один из этих углов равен $60^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, образованный стороной прямоугольника $AB$ и половинами диагоналей $AO$ и $BO$. В этом треугольнике $AO = BO = 5$ см, а угол между ними $\angle AOB = 60^\circ$. Так как треугольник $\triangle AOB$ равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине, то он является равносторонним. Таким образом, сторона $AB = AO = BO = 5$ см.

Вторую сторону прямоугольника, $BC$, можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ по теореме Пифагора, где $AC$ — гипотенуза: $AC^2 = AB^2 + BC^2$ $10^2 = 5^2 + BC^2$ $100 = 25 + BC^2$ $BC^2 = 75$ $BC = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.

Стороны прямоугольника равны $5$ см и $5\sqrt{3}$ см. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $5\sqrt{3} \approx 8.66$ см, что больше $5$ см. По условию задачи, бóльшая сторона прямоугольника является высотой цилиндра $H$, а меньшая — длиной окружности его основания $C$. Значит, $H = 5\sqrt{3}$ см, а $C = 5$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и удвоенной площади основания $S_{осн}$. $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь боковой поверхности равна площади её развёртки — прямоугольника $ABCD$: $S_{бок} = AB \cdot BC = 5 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$ см$^2$.

Чтобы найти площадь основания, сначала определим его радиус $R$. Длина окружности основания $C$ связана с радиусом формулой $C = 2\pi R$: $5 = 2\pi R \Rightarrow R = \frac{5}{2\pi}$ см.

Теперь вычислим площадь основания по формуле $S_{осн} = \pi R^2$: $S_{осн} = \pi \left(\frac{5}{2\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{25}{4\pi^2} = \frac{25}{4\pi}$ см$^2$.

Наконец, найдём площадь полной поверхности цилиндра: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 25\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{25}{4\pi} = 25\sqrt{3} + \frac{50}{4\pi} = 25\sqrt{3} + \frac{25}{2\pi}$ см$^2$. Вынося общий множитель за скобки, получаем: $S_{полн} = 25\left(\sqrt{3} + \frac{1}{2\pi}\right)$ см$^2$.

Ответ: $25\left(\sqrt{3} + \frac{1}{2\pi}\right)$ см$^2$.