Номер 106, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $60^\circ$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину данной хорды, образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если длина данной хорды равна 12 см.

106. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $60^\circ$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину данной хорды, образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если длина данной хорды равна 12 см.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра используется формула $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. Для решения задачи необходимо найти значения $R$ и $H$.

Сначала найдем радиус основания $R$. Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Пусть $O$ — центр этого основания, а $AB$ — данная хорда. По условию, длина хорды $AB = 12$ см. Угол, под которым эту хорду видно из центра основания, равен $60°$, то есть центральный угол $\angle AOB = 60°$. Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как его стороны $OA$ и $OB$ — это радиусы окружности основания ($OA = OB = R$). В равнобедренном треугольнике с углом при вершине $60°$ углы при основании также равны $(180° - 60°)/2 = 60°$. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является равносторонним, и все его стороны равны. Таким образом, радиус основания $R = AB = 12$ см.

Теперь найдем высоту цилиндра $H$. Пусть $O_1$ — центр верхнего основания, а $M$ — середина хорды $AB$. Высота цилиндра $H$ равна расстоянию между основаниями, то есть $H = OO_1$. По условию, отрезок $O_1M$ образует с плоскостью основания угол $45°$. Угол между наклонной ($O_1M$) и плоскостью (нижнее основание) — это угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. Проекцией точки $O_1$ на плоскость нижнего основания является точка $O$, следовательно, проекцией наклонной $O_1M$ является отрезок $OM$. Таким образом, искомый угол — это $\angle O_1MO = 45°$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1OM$. Так как $OO_1$ — высота цилиндра, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, $OO_1 \perp OM$. Следовательно, $\triangle O_1OM$ — прямоугольный. В этом треугольнике катет $OO_1 = H$. Найдем длину второго катета $OM$. В равностороннем треугольнике $\triangle AOB$ отрезок $OM$ является медианой, а значит, и высотой. Из прямоугольного треугольника $\triangle OMA$ по теореме Пифагора находим $OM$: $OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{R^2 - (AB/2)^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1OM$ мы знаем катет $OM = 6\sqrt{3}$ см и прилежащий к нему угол $\angle O_1MO = 45°$. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan(45°) = \frac{OO_1}{OM} = \frac{H}{6\sqrt{3}}$. Так как $\tan(45°) = 1$, получаем, что $H = 6\sqrt{3}$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности цилиндра, подставив найденные значения $R = 12$ см и $H = 6\sqrt{3}$ см в формулу:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot 12 \cdot 6\sqrt{3} = 144\sqrt{3}\pi$ см$^2$.

Ответ: $144\sqrt{3}\pi$ см$^2$.