Номер 107, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания —под углом $\beta$. Расстояние от центра верхнего основания до конца проведённой хорды равно $a$. Найдите высоту цилиндра.

107. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания — под углом $\beta$. Расстояние от центра верхнего основания до конца проведённой хорды равно $a$. Найдите высоту цилиндра.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, $R$ — радиус основания, а $H$ — его высота. Пусть $AB$ — хорда, проведенная в нижнем основании.

По условию, из центра нижнего основания $O_1$ хорда $AB$ видна под углом $\alpha$, то есть $\angle AO_1B = \alpha$. Треугольник $\triangle AO_1B$ является равнобедренным, так как $O_1A$ и $O_1B$ — радиусы основания ($O_1A = O_1B = R$). Длину хорды $AB$ можно выразить через радиус $R$ и угол $\alpha$:
$AB = 2R\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Также по условию, из центра верхнего основания $O_2$ та же хорда $AB$ видна под углом $\beta$, то есть $\angle AO_2B = \beta$. Треугольник $\triangle AO_2B$ также является равнобедренным, поскольку расстояние от $O_2$ до концов хорды $A$ и $B$ одинаково и равно $a$ ($O_2A = O_2B = a$). Выразим длину хорды $AB$ через $a$ и угол $\beta$:
$AB = 2a\sin(\frac{\beta}{2})$.

Приравнивая два полученных выражения для длины хорды $AB$, мы можем найти радиус основания $R$:
$2R\sin(\frac{\alpha}{2}) = 2a\sin(\frac{\beta}{2})$,
откуда $R = a \frac{\sin(\frac{\beta}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$, так как высота цилиндра $H = O_1O_2$ перпендикулярна плоскости основания и, следовательно, перпендикулярна радиусу $O_1A$, лежащему в этой плоскости. Катетами этого треугольника являются высота $H$ и радиус $R$, а гипотенузой — отрезок $O_2A$, длина которого по условию равна $a$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle O_1AO_2$:
$H^2 + R^2 = a^2$.

Выразим из этого уравнения высоту $H$ и подставим найденное ранее выражение для радиуса $R$:
$H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(a \frac{\sin(\frac{\beta}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 = a^2 \left(1 - \frac{\sin^2(\frac{\beta}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}\right)$.
Приводя выражение в скобках к общему знаменателю, получаем:
$H^2 = a^2 \frac{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\beta}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим искомую высоту цилиндра:
$H = \sqrt{a^2 \frac{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\beta}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{a}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \sqrt{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\beta}{2})}$.

Ответ: $H = \frac{a}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \sqrt{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\beta}{2})}$.