Номер 109, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

109. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Проведённое сечение является квадратом, а расстояние от центра основания цилиндра до плоскости сечения равно 2 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

109. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Проведённое сечение является квадратом, а расстояние от центра основания цилиндра до плоскости сечения равно 2 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра как $R$, а высоту как $H$.

Сечение, параллельное оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. По условию, это сечение является квадратом. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Одна сторона квадрата — это хорда $AB$ в основании цилиндра, а другая сторона равна высоте цилиндра $H$. Следовательно, $H = a$.

Рассмотрим основание цилиндра. Это окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Хорда $AB$ отсекает дугу с градусной мерой $90^\circ$. Это означает, что центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на эту дугу, также равен $90^\circ$.

Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным ($OA = OB = R$) и прямоугольным. Мы можем найти длину хорды $AB$ (стороны квадрата $a$) по теореме Пифагора:
$AB^2 = OA^2 + OB^2$
$a^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$
Отсюда $a = R\sqrt{2}$.

Расстояние от центра основания $O$ до плоскости сечения равно расстоянию от точки $O$ до хорды $AB$. Обозначим это расстояние как $d$. По условию $d = 2$ см. Это расстояние является высотой $OM$, проведенной из центра $O$ к хорде $AB$ в треугольнике $\triangle AOB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$ (где $M$ — середина хорды $AB$). Его гипотенуза $OA = R$, а катеты $OM = d = 2$ см и $AM = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора для $\triangle OMA$ получаем:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$
$R^2 = 2^2 + \frac{a^2}{4} = 4 + \frac{a^2}{4}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $R$ и $a$:
1. $a = R\sqrt{2}$
2. $R^2 = 4 + \frac{a^2}{4}$
Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:
$R^2 = 4 + \frac{(R\sqrt{2})^2}{4}$
$R^2 = 4 + \frac{2R^2}{4}$
$R^2 = 4 + \frac{R^2}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $R^2$:
$R^2 - \frac{R^2}{2} = 4$
$\frac{R^2}{2} = 4$
$R^2 = 8$
$R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем сторону квадрата $a$, которая также является высотой цилиндра $H$:
$a = R\sqrt{2} = (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ см.
Таким образом, $H = a = 4$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2\pi RH$
Подставим найденные значения $R$ и $H$ в формулу:
$S_{бок} = 2\pi \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 4 = 16\pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: $16\pi\sqrt{2}$ см².