Номер 111, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Прямоугольник $AA_1B_1B$ — осевое сечение цилиндра, отрезок $CC_1$ — образующая цилиндра. Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ равен $60^\circ$. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью $AA_1C$.

111. Прямоугольник $AA_1B_1B$ — осевое сечение цилиндра, отрезок $CC_1$ — образующая цилиндра. Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ равен $60^\circ$. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью $AA_1C$.

Решение:

Пусть $h$ — высота цилиндра, а $R$ — радиус его основания.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник $AA_1B_1B$, стороны которого равны диаметру основания $AB$ и высоте цилиндра $AA_1$.

Высота цилиндра $h = AA_1$. Диаметр основания $d = AB = 2R$.

Площадь осевого сечения $S$ задана по условию:

$S = AB \cdot AA_1 = 2R \cdot h$

Сечение цилиндра плоскостью $AA_1C$ — это прямоугольник $AA_1CC_1$, так как $AA_1$ и $CC_1$ — параллельные образующие. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $AA_1 = h$ и хорде основания $AC$.

Площадь этого сечения, которую нам нужно найти, обозначим как $S_{сеч}$.

$S_{сеч} = AC \cdot AA_1 = AC \cdot h$

Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ — это двугранный угол. Его линейной мерой является угол между лучами, которые лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения $AA_1$.

Так как образующая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания, то отрезки $AB$ и $AC$, лежащие в плоскости основания, перпендикулярны $AA_1$.

Следовательно, угол между плоскостями равен углу между отрезками $AB$ и $AC$, то есть $\angle BAC = 60^\circ$.

Рассмотрим основание цилиндра. В окружности основания $AB$ — это диаметр, а $AC$ — хорда. Точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности. Треугольник $ABC$ вписан в окружность, и одна из его сторон ($AB$) является диаметром. Это означает, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ мы можем найти катет $AC$ через гипотенузу $AB$ и прилежащий угол $\angle BAC$:

$AC = AB \cdot \cos(\angle BAC)$

Подставим известные значения:

$AC = 2R \cdot \cos(60^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$

Теперь найдем площадь искомого сечения:

$S_{сеч} = AC \cdot h = R \cdot h$

Мы знаем, что площадь осевого сечения $S = 2R \cdot h$. Отсюда можно выразить произведение $R \cdot h$:

$R \cdot h = \frac{S}{2}$

Таким образом, площадь сечения $AA_1C$ равна:

$S_{сеч} = \frac{S}{2}$

Ответ: $\frac{S}{2}$