Номер 117, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Диагональ боковой грани, содержащей больший из катетов, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

117. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Диагональ боковой грани, содержащей больший из катетов, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Для решения задачи нам нужно найти радиус основания и высоту цилиндра, описанного около призмы. Высота цилиндра равна высоте призмы, а радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, описанной около основания призмы.

1. Нахождение параметров основания.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 10$ см и $b = 24$ см. Найдем гипотенузу $c$ этого треугольника по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см.

Цилиндр описан около призмы, значит, его основание — это окружность, описанная около прямоугольного треугольника в основании призмы. Радиус $R$ такой окружности равен половине гипотенузы.

$R = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

2. Нахождение высоты призмы.

Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы. По условию, диагональ боковой грани, содержащей больший катет ($b = 24$ см), образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Предполагаем, что призма прямая, так как в ином случае задача не определена однозначно. В прямой призме боковые ребра перпендикулярны основанию.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой призмы $H$, большим катетом основания $b$ и диагональю боковой грани. В этом треугольнике $H$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$, а катет $b$ — прилежащим катетом.

Тангенс угла наклона диагонали к плоскости основания равен отношению высоты призмы к соответствующей стороне основания:

$\tan(30^\circ) = \frac{H}{b}$

Отсюда находим высоту $H$:

$H = b \cdot \tan(30^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение площади полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi RH = 2\pi R(R + H)$

Подставим найденные значения $R = 13$ см и $H = 8\sqrt{3}$ см:

$S_{полн} = 2\pi \cdot 13(13 + 8\sqrt{3}) = 26\pi(13 + 8\sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $26\pi(13 + 8\sqrt{3})$ см$^2$.