Номер 120, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёх-угольной призмы, вписанной в этот цилиндр.

120. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёх-угольной призмы, вписанной в этот цилиндр.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $D = 2R$ и высоте $H$. По условию, площадь этого сечения равна $S$. Таким образом, мы можем записать:
$S = D \cdot H = 2RH$.

В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма. Это значит, что основаниями призмы являются квадраты, вписанные в окружности оснований цилиндра, а высота призмы равна высоте цилиндра $H$.

Рассмотрим основание призмы — квадрат, вписанный в окружность радиуса $R$. Диагональ $d$ этого квадрата равна диаметру окружности, то есть $d = 2R$. Пусть сторона квадрата равна $a$. Связь между стороной и диагональю квадрата описывается теоремой Пифагора:
$a^2 + a^2 = d^2$
$2a^2 = (2R)^2 = 4R^2$
Отсюда находим сторону квадрата:
$a = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра её основания ($P_{осн}$) на высоту ($H$).
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.
Периметр основания (квадрата) равен:
$P_{осн} = 4a = 4(R\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}R$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = (4\sqrt{2}R) \cdot H = 4\sqrt{2}RH$.

Из формулы для площади осевого сечения цилиндра $S = 2RH$ мы можем выразить произведение $RH$:
$RH = \frac{S}{2}$.

Подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности призмы, чтобы выразить её через $S$:
$S_{бок} = 4\sqrt{2} \cdot (RH) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{S}{2} = 2\sqrt{2}S$.

Ответ: $2\sqrt{2}S$