Номер 122, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Правильная шестиугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен $3\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности призмы равна $108 \text{ см}^2$.

Найдите высоту цилиндра.

122. Правильная шестиугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен $3\sqrt{3}$ см. Площадь боковой поверхности призмы равна $108$ $\text{см}^2$. Найдите высоту цилиндра.

Поскольку правильная шестиугольная призма описана около цилиндра, их высоты равны. Таким образом, высота цилиндра $h$ равна высоте призмы $H$.

Основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (правильный шестиугольник). Это означает, что радиус основания цилиндра $r$ равен радиусу окружности, вписанной в шестиугольник. Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности является его апофемой $a$.

По условию, радиус основания цилиндра $r = 3\sqrt{3}$ см, следовательно, апофема шестиугольника в основании призмы $a = 3\sqrt{3}$ см.

Связь между стороной правильного шестиугольника $s$ и его апофемой $a$ выражается формулой: $a = \frac{s\sqrt{3}}{2}$.

Найдем сторону основания призмы $s$ из этой формулы:

$3\sqrt{3} = \frac{s\sqrt{3}}{2}$

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$, получаем:

$3 = \frac{s}{2}$

$s = 6$ см.

Периметр основания призмы $P_{осн}$ равен сумме длин всех его сторон:

$P_{осн} = 6 \cdot s = 6 \cdot 6 = 36$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

По условию, $S_{бок} = 108$ см². Теперь мы можем найти высоту призмы $H$:

$H = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{108}{36} = 3$ см.

Так как высота призмы равна высоте цилиндра, то высота цилиндра $h = 3$ см.

Ответ: 3 см.