Номер 121, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Около правильной четырёхугольной призмы описан цилиндр, радиус основания которого равен $r$, а угол между диагональю осевого сечения цилиндра и образующей равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

121. Около правильной четырёхугольной призмы описан цилиндр, радиус основания которого равен $r$, а угол между диагональю осевого сечения цилиндра и образующей равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы находится по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдём сторону и периметр основания призмы.
Так как призма правильная четырёхугольная, её основанием является квадрат. Поскольку цилиндр описан около призмы, квадрат-основание вписан в окружность-основание цилиндра. Диагональ $d$ этого квадрата равна диаметру $D$ окружности. Радиус окружности по условию равен $r$, значит, диаметр $D = 2r$. Следовательно, $d = 2r$.
Диагональ квадрата связана с его стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$. Приравняем выражения для диагонали: $a\sqrt{2} = 2r$
Отсюда выразим сторону квадрата: $a = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$.
Периметр основания призмы (квадрата) равен: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot r\sqrt{2} = 4\sqrt{2}r$.

2. Найдём высоту призмы.
Высота призмы $h$ равна высоте (образующей) описанного цилиндра. Рассмотрим осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $D=2r$ и высоте $h$. Диагональ этого сечения, образующая (сторона $h$) и диаметр основания (сторона $2r$) образуют прямоугольный треугольник. По условию, угол между диагональю осевого сечения и образующей равен $\beta$. В этом прямоугольном треугольнике катет, равный $2r$, является противолежащим углу $\beta$, а катет, равный $h$, — прилежащим. По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике: $\tan\beta = \frac{противолежащий\ катет}{прилежащий\ катет} = \frac{2r}{h}$
Отсюда выражаем высоту $h$: $h = \frac{2r}{\tan\beta} = 2r\cot\beta$.

3. Найдём площадь боковой поверхности призмы.
Подставим найденные значения периметра основания $P_{осн}$ и высоты $h$ в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4\sqrt{2}r) \cdot (2r\cot\beta) = 8\sqrt{2}r^2\cot\beta$.

Ответ: $8\sqrt{2}r^2\cot\beta$.