Номер 119, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 9 см и 15 см, а боковая сторона — $3\sqrt{10}$ см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $45^{\circ}$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

119. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 9 см и 15 см, а боковая сторона — $3\sqrt{10}$ см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $45^\circ$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Для нахождения площади осевого сечения цилиндра, описанного около призмы, необходимо найти его высоту и диаметр основания. Высота цилиндра равна высоте призмы, а диаметр основания цилиндра равен диаметру окружности, описанной около основания призмы.

1. Анализ основания призмы (равнобокой трапеции)

Пусть дана равнобокая трапеция с основаниями $a = 15$ см и $b = 9$ см, и боковой стороной $c = 3\sqrt{10}$ см.Сначала найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Она отсечет от большего основания отрезок, длина которого равна полуразности оснований:

$\frac{a - b}{2} = \frac{15 - 9}{2} = 3$ см.

Этот отрезок, высота $h$ и боковая сторона $c$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$h^2 = c^2 - (\frac{a-b}{2})^2 = (3\sqrt{10})^2 - 3^2 = 90 - 9 = 81$

$h = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь найдем диагональ трапеции $d$. Диагональ, высота и часть большего основания образуют другой прямоугольный треугольник. Длина этого катета на большем основании равна $a - \frac{a-b}{2} = 15 - 3 = 12$ см. По теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + (a - \frac{a-b}{2})^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

$d = \sqrt{225} = 15$ см.

2. Нахождение высоты призмы и диаметра описанной окружности

Высота призмы $H_{пр}$ связана с диагональю основания $d$ через угол между диагональю призмы и плоскостью основания, который равен $45^\circ$. Диагональ призмы, ее проекция на основание (диагональ трапеции $d$) и высота призмы $H_{пр}$ образуют прямоугольный треугольник. Так как один из острых углов равен $45^\circ$, этот треугольник равнобедренный, и его катеты равны:

$H_{пр} = d = 15$ см.

Высота описанного цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы, следовательно, $H_{цил} = 15$ см.

Диаметр $D_{цил}$ основания цилиндра равен диаметру окружности, описанной около трапеции. Эту окружность можно рассматривать как описанную около треугольника, образованного боковой стороной, диагональю и большим основанием трапеции. Стороны этого треугольника равны $15$ см, $15$ см и $3\sqrt{10}$ см.Найдем радиус $R$ описанной окружности по формуле $R = \frac{xyz}{4S}$, где $x, y, z$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Площадь этого треугольника $S_{\triangle}$ найдем, зная его основание ($15$ см) и высоту к нему (высота трапеции $h = 9$ см):

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 9 = \frac{135}{2} = 67.5$ см$^2$.

Теперь вычислим радиус:

$R = \frac{15 \cdot 15 \cdot 3\sqrt{10}}{4 \cdot 67.5} = \frac{675\sqrt{10}}{270} = \frac{5\sqrt{10}}{2}$ см.

Диаметр основания цилиндра равен:

$D_{цил} = 2R = 2 \cdot \frac{5\sqrt{10}}{2} = 5\sqrt{10}$ см.

3. Нахождение площади осевого сечения цилиндра

Осевое сечение цилиндра является прямоугольником со сторонами, равными диаметру основания $D_{цил}$ и высоте цилиндра $H_{цил}$.

$S_{сеч} = D_{цил} \cdot H_{цил} = 5\sqrt{10} \cdot 15 = 75\sqrt{10}$ см$^2$.

Ответ: $75\sqrt{10}$ см$^2$.