Номер 112, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, площадь которого равна S, а диагональ сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Сечение пересекает нижнее основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом $\beta$. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

112. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, площадь которого равна $S$, а диагональ сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Сечение пересекает нижнее основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом $\beta$. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

Пусть сечение представляет собой прямоугольник, стороны которого — это хорда в основании цилиндра и высота цилиндра. Обозначим длину хорды как $a$, а высоту цилиндра как $H$.

Площадь сечения $S$ равна произведению его сторон:

$S = a \cdot H$

Диагональ сечения (обозначим ее $d$) образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Проекцией этой диагонали на плоскость основания является хорда $a$. Таким образом, высота $H$, хорда $a$ и диагональ $d$ образуют прямоугольный треугольник, в котором:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{a}$

Высота цилиндра

Из соотношения $\tan(\alpha) = \frac{H}{a}$ выразим длину хорды $a$ через высоту $H$:

$a = \frac{H}{\tan(\alpha)} = H \cot(\alpha)$

Подставим это выражение в формулу для площади сечения:

$S = (H \cot(\alpha)) \cdot H = H^2 \cot(\alpha)$

Отсюда найдем высоту $H$:

$H^2 = \frac{S}{\cot(\alpha)} = S \tan(\alpha)$

$H = \sqrt{S \tan(\alpha)}$

Ответ: $H = \sqrt{S \tan(\alpha)}$

Радиус его основания

Рассмотрим основание цилиндра. Хорда $a$ видна из центра основания под углом $\beta$. Пусть $R$ — радиус основания. Хорда и два радиуса, проведенные к ее концам, образуют равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R$ и углом между ними $\beta$.

Длину хорды можно найти по формуле:

$a = 2R \sin(\frac{\beta}{2})$

Отсюда радиус $R$ равен:

$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\beta}{2})}$

Теперь найдем длину хорды $a$, используя площадь сечения $S$ и угол $\alpha$. Из формулы $H = a \tan(\alpha)$ и $S = a \cdot H$ получим:

$S = a \cdot (a \tan(\alpha)) = a^2 \tan(\alpha)$

$a^2 = \frac{S}{\tan(\alpha)} = S \cot(\alpha)$

$a = \sqrt{S \cot(\alpha)}$

Подставим найденное значение $a$ в формулу для радиуса $R$:

$R = \frac{\sqrt{S \cot(\alpha)}}{2 \sin(\frac{\beta}{2})}$

Ответ: $R = \frac{\sqrt{S \cot(\alpha)}}{2 \sin(\frac{\beta}{2})}$