Номер 108, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Радиус основания цилиндра равен 10 см, а образующая — 12 см. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, диагональ которого равна 20 см. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

108. Радиус основания цилиндра равен 10 см, а образующая — 12 см. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, диагональ которого равна 20 см. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

Обозначим радиус основания цилиндра как $R$, его образующую (которая равна высоте) как $H$, и диагональ сечения как $d$. Искомое расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения обозначим как $x$.

По условию задачи имеем:
Радиус $R = 10$ см.
Образующая $H = 12$ см.
Диагональ сечения $d = 20$ см.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая сторона является хордой $c$ в основании цилиндра. Диагональ этого прямоугольника, его стороны $H$ и $c$ связаны теоремой Пифагора:
$d^2 = H^2 + c^2$

Найдем длину хорды $c$ из этого соотношения:
$c^2 = d^2 - H^2$
$c^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$c = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь рассмотрим основание цилиндра. Это круг с центром в точке $O$ (точка на оси цилиндра) и радиусом $R = 10$ см. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно расстоянию от центра основания $O$ до хорды $c$. Обозначим это расстояние как $x$.

Радиус, проведенный к концу хорды, половина хорды и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:
- гипотенуза — это радиус $R = 10$ см,
- один катет — это половина хорды $c/2 = 16/2 = 8$ см,
- второй катет — это искомое расстояние $x$.

Снова применяем теорему Пифагора:
$R^2 = x^2 + (c/2)^2$

Выразим и найдем $x$:
$x^2 = R^2 - (c/2)^2$
$x^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
$x = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.