Номер 103, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см, а угол между диагоналями осевого сечения, лежащий против диаметра основания, — $120^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

103. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см, а угол между диагоналями осевого сечения, лежащий против диаметра основания, — 120°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Пусть его стороны равны $d$ (диаметр основания цилиндра) и $H$ (высота цилиндра). Диагонали этого прямоугольника равны, их длина по условию составляет 10 см.

Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной прямоугольника, равной диаметру основания $d$. Этот треугольник является равнобедренным, его боковые стороны равны половине диагонали, то есть $10 / 2 = 5$ см. Угол между этими сторонами, согласно условию, равен $120^\circ$, так как он лежит против диаметра основания.

Найдем диаметр основания $d$, используя теорему косинусов для этого треугольника: $d^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)$ $d^2 = 25 + 25 - 50 \cdot (-\frac{1}{2})$ $d^2 = 50 + 25 = 75$ $d = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем высоту цилиндра $H$. Рассмотрим другой треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной прямоугольника, равной высоте $H$. Этот треугольник также равнобедренный с боковыми сторонами по 5 см. Угол между ними является смежным с углом $120^\circ$, поэтому он равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Так как это равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине, то он является равносторонним. Следовательно, его третья сторона, равная высоте цилиндра $H$, также равна 5 см. $H = 5$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi d H$

Подставим найденные значения $d$ и $H$: $S_{бок} = \pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $25\pi\sqrt{3}$ см².