Номер 110, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего параллельно его оси на расстоянии, равном половине радиуса основания цилиндра.

110. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего параллельно его оси на расстоянии, равном половине радиуса основания цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $D = 2R$ и высоте цилиндра $H$. Площадь этого сечения, по условию равная $S$, вычисляется по формуле:

$S = D \cdot H = 2R \cdot H$

Из этого равенства выразим произведение $R \cdot H$:

$R \cdot H = \frac{S}{2}$

Сечение, проходящее параллельно оси цилиндра, также является прямоугольником. Одна его сторона равна высоте цилиндра $H$, а другая — хорде $a$ в основании цилиндра. Площадь искомого сечения (обозначим её $S_{сеч}$) равна произведению этих сторон:

$S_{сеч} = a \cdot H$

По условию, это сечение удалено от оси цилиндра на расстояние $d$, равное половине радиуса основания, то есть $d = \frac{R}{2}$.

Для нахождения длины хорды $a$ рассмотрим основание цилиндра (круг радиуса $R$). Хорда $a$ находится на расстоянии $d = \frac{R}{2}$ от центра круга. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному радиусом, проведенным к концу хорды (гипотенуза $R$), перпендикуляром от центра к хорде (катет $d = \frac{R}{2}$) и половиной хорды (катет $\frac{a}{2}$).

Согласно теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известное значение $d$:

$R^2 = (\frac{R}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2$

$R^2 = \frac{R^2}{4} + \frac{a^2}{4}$

Выразим из этого уравнения $a^2$:

$\frac{a^2}{4} = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

$a^2 = 3R^2$

Поскольку длина хорды $a$ является положительной величиной, получаем:

$a = R\sqrt{3}$

Теперь можем вычислить площадь искомого сечения, подставив найденное значение $a$ в формулу для $S_{сеч}$:

$S_{сеч} = a \cdot H = (R\sqrt{3}) \cdot H = (R \cdot H)\sqrt{3}$

Ранее мы выразили $R \cdot H = \frac{S}{2}$. Подставим это в полученное выражение для площади сечения:

$S_{сеч} = \frac{S}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{S\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{S\sqrt{3}}{2}$