Номер 114, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

114. Радиус основания цилиндра равен 10 см, а высота — 14 см. Плоскость $\beta$ пересекает его основания по хордам длиной 12 см и 16 см. Центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от плоскости $\beta$. Найдите угол между плоскостью $\beta$ и плоскостью основания цилиндра.

114. Радиус основания цилиндра равен 10 см, а высота — 14 см. Плоскость $ \beta $ пересекает его основания по хордам длиной 12 см и 16 см. Центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от плоскости $ \beta $. Найдите угол между плоскостью $ \beta $ и плоскостью основания цилиндра.

Для решения задачи воспользуемся данными: радиус основания цилиндра $R = 10$ см, высота $H = 14$ см. Плоскость $\beta$ пересекает основания по хордам $l_1 = 12$ см и $l_2 = 16$ см.

1. Найдем расстояния от центров оснований до хорд

Рассмотрим одно из оснований цилиндра. Хорда, радиус, проведенный к одному из ее концов, и перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, образуют прямоугольный треугольник. Длина перпендикуляра и есть искомое расстояние.

Для хорды $l_1 = 12$ см:
Катет, равный половине хорды, составляет $l_1/2 = 12/2 = 6$ см.
Гипотенуза — это радиус $R = 10$ см.
Расстояние $d_1$ от центра до хорды (второй катет) найдем по теореме Пифагора:
$d_1 = \sqrt{R^2 - (l_1/2)^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Для хорды $l_2 = 16$ см:
Катет, равный половине хорды, составляет $l_2/2 = 16/2 = 8$ см.
Гипотенуза — это радиус $R = 10$ см.
Расстояние $d_2$ от центра до хорды найдем по теореме Пифагора:
$d_2 = \sqrt{R^2 - (l_2/2)^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Найдем угол между плоскостями

Угол между секущей плоскостью $\beta$ и плоскостью основания — это двугранный угол. Для его нахождения рассмотрим сечение цилиндра, перпендикулярное обеим хордам. В этом сечении мы получим прямоугольную трапецию, образованную осью цилиндра, перпендикулярами $d_1$ и $d_2$ к хордам и отрезком, соединяющим середины хорд, который лежит в плоскости $\beta$.

Искомый угол $\alpha$ — это угол наклона этого отрезка к плоскости основания. Его можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются:
1. Высота цилиндра $H$.
2. Разность расстояний от центров оснований до хорд, так как по условию центры оснований лежат по одну сторону от плоскости $\beta$.

Противолежащий катет (вертикальный) равен высоте цилиндра: $H = 14$ см.
Прилежащий катет (горизонтальный) равен разности расстояний: $|d_1 - d_2| = |8 - 6| = 2$ см.

Тангенс угла наклона $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{|d_1 - d_2|} = \frac{14}{2} = 7$.

Следовательно, искомый угол равен $\arctan(7)$.

Ответ: $\arctan(7)$.