Номер 113, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 8 см, а высота — 12 см. Из середины отрезка $OO_1$ проведён луч, пересекающий плоскость нижнего основания в точке, удалённой на 24 см от точки $O$. В каком отношении проведённый луч делит образующую цилиндра, которую он пересекает, считая от плоскости нижнего основания?

113. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 8 см, а высота — 12 см. Из середины отрезка $OO_1$ проведён луч, пересекающий плоскость нижнего основания в точке, удалённой на 24 см от точки $O$. В каком отношении проведённый луч делит образующую цилиндра, которую он пересекает, считая от плоскости нижнего основания?

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания O совпадает с началом координат (0, 0, 0), а ось цилиндра OO₁ лежит на оси Oz.

Согласно условию:

• Координаты центра нижнего основания: $O(0, 0, 0)$.
• Высота цилиндра $H = 12$ см, значит, координаты центра верхнего основания: $O_1(0, 0, 12)$.
• Радиус основания цилиндра $R = 8$ см.

Найдем координаты середины отрезка $OO_1$, обозначим ее точкой M.$M = (\frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+12}{2}) = (0, 0, 6)$.

Из точки M проведён луч, который пересекает плоскость нижнего основания ($z=0$) в точке A, удаленной от точки O на 24 см. Для упрощения расчетов разместим точку A на оси Ox. Тогда ее координаты будут $A(24, 0, 0)$.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через ось Oz и точку A. Это будет плоскость xOz. В этой плоскости задача сводится к двумерной.

В плоскости xOz у нас есть:

• Точка M с координатами $(0, 6)$.
• Точка A с координатами $(24, 0)$.

Луч, выходящий из M и проходящий через A, представляет собой часть прямой MA. Найдем уравнение этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, z_1)$ и $(x_2, z_2)$, имеет вид:$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$

Подставим координаты точек M(0, 6) и A(24, 0):$\frac{x - 0}{24 - 0} = \frac{z - 6}{0 - 6}$$\frac{x}{24} = \frac{z - 6}{-6}$

Этот луч пересекает образующую цилиндра. В нашем сечении (плоскость xOz) образующая, которую пересекает луч, является вертикальным отрезком прямой $x = R$, то есть $x = 8$.

Чтобы найти точку пересечения, подставим $x = 8$ в уравнение прямой MA:$\frac{8}{24} = \frac{z - 6}{-6}$$\frac{1}{3} = \frac{z - 6}{-6}$

Решим уравнение относительно z:$1 \cdot (-6) = 3 \cdot (z - 6)$$-6 = 3z - 18$$3z = 18 - 6$$3z = 12$$z = 4$ см.

Это означает, что луч пересекает образующую цилиндра на высоте 4 см от плоскости нижнего основания.

Высота всей образующей равна высоте цилиндра, то есть 12 см. Точка пересечения делит образующую на два отрезка:

• Нижний отрезок (от нижнего основания до точки пересечения): 4 см.
• Верхний отрезок (от точки пересечения до верхнего основания): $12 - 4 = 8$ см.

Искомое отношение, считая от плоскости нижнего основания, — это отношение длины нижнего отрезка к длине верхнего:$4 : 8$

Сокращая, получаем:$1 : 2$

Ответ: $1:2$.