Номер 118, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Основанием призмы является равнобедренный треугольник с углом $ \alpha $ между равными сторонами. Боковая сторона треугольника равна $ a $. Диагональ боковой грани призмы, содержащей данную сторону основания, образует с плоскостью основания призмы угол $ \beta $. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

118. Основанием призмы является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ между равными сторонами. Боковая сторона треугольника равна $a$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей данную сторону основания, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Для нахождения площади боковой поверхности описанного цилиндра необходимо найти его радиус основания $R$ и высоту $H$. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$.

Нахождение радиуса основания цилиндра

Радиус основания цилиндра, описанного около призмы, равен радиусу $R$ окружности, описанной около основания призмы. Основание призмы — это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными $a$, и углом $\alpha$ между ними.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $a$ и $c$. Угол между равными сторонами равен $\alpha$. Третью сторону $c$ найдем по теореме косинусов:$c^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$.

Используя формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:$c^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.Отсюда, $c = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Радиус $R$ описанной окружности можно найти, используя следствие из теоремы синусов: $R = \frac{c}{2\sin(\alpha)}$.Подставим найденное значение $c$:$R = \frac{2a\sin(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\alpha)}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:$R = \frac{2a\sin(\frac{\alpha}{2})}{2 \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Нахождение высоты цилиндра

Высота цилиндра равна высоте призмы $H$. Так как в условии не указано иное, будем считать призму прямой. В этом случае боковые ребра призмы перпендикулярны ее основанию.

Рассмотрим боковую грань, содержащую сторону основания длиной $a$. Эта грань является прямоугольником со сторонами $a$ и $H$. Диагональ этой грани, ее проекция на плоскость основания (которой является сама сторона $a$) и боковое ребро призмы (высота $H$) образуют прямоугольный треугольник.

По условию, угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания равен $\beta$. В данном прямоугольном треугольнике этот угол является углом между гипотенузой (диагональю) и катетом (стороной $a$). Другой катет равен высоте призмы $H$.

Таким образом, мы имеем соотношение:$\tan(\beta) = \frac{H}{a}$.

Отсюда находим высоту:$H = a \tan(\beta)$.

Вычисление площади боковой поверхности цилиндра

Теперь, зная радиус $R$ и высоту $H$, мы можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$.

Подставим найденные выражения для $R$ и $H$:$S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{a}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot a \tan(\beta)$.

Упрощая выражение, получаем:$S_{бок} = \frac{\pi a^2 \tan(\beta)}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2 \tan(\beta)}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$