Номер 124, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 18 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{362}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

124. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 18 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{362}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Для решения задачи нам необходимо найти радиус основания и высоту вписанного цилиндра. Высота цилиндра равна высоте призмы, а радиус его основания равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы (трапецию).

1. Нахождение параметров трапеции в основании призмы.

Пусть основания равнобокой трапеции равны $a = 18$ см и $b = 8$ см, а боковая сторона — $c$. Поскольку в призму вписан цилиндр, то в ее основание, трапецию, можно вписать окружность. Главное свойство описанного четырехугольника — равенство сумм длин противоположных сторон. Для равнобокой трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$a + b = 2c$
$18 + 8 = 2c$
$26 = 2c$
$c = 13$ см.

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Если из вершины меньшего основания опустить высоту на большее основание, то она отсечет от него отрезок, длина которого вычисляется как $\frac{a-b}{2}$.
Длина отрезка = $\frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$ (гипотенуза), высотой $h$ и этим отрезком (катеты). По теореме Пифагора:
$h^2 + 5^2 = 13^2$
$h^2 + 25 = 169$
$h^2 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Радиус $r$ вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты. Этот радиус также является радиусом основания вписанного цилиндра.
$r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Нахождение высоты призмы.

Пусть высота призмы (и цилиндра) равна $H$. Диагональ призмы $D_{пр}$, ее высота $H$ и диагональ основания $d_{осн}$ связаны соотношением (для прямой призмы): $D_{пр}^2 = H^2 + d_{осн}^2$.
Сначала найдем квадрат диагонали основания трапеции, $d_{осн}^2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота трапеции $h$ и отрезок большего основания, равный $a - \frac{a-b}{2} = 18 - 5 = 13$ см. Гипотенузой этого треугольника является диагональ трапеции $d_{осн}$.
По теореме Пифагора:
$d_{осн}^2 = h^2 + (13)^2 = 12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313$.

Теперь, зная диагональ призмы $D_{пр} = \sqrt{362}$, найдем ее высоту $H$:
$(\sqrt{362})^2 = H^2 + 313$
$362 = H^2 + 313$
$H^2 = 362 - 313 = 49$
$H = \sqrt{49} = 7$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r H$.
Подставим найденные значения $r = 6$ см и $H = 7$ см:
$S_{бок} = 2 \pi \cdot 6 \cdot 7 = 84\pi$ см².

Ответ: $84\pi$ см².