Номер 127, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна $a$, а высота — $H$. В призму вписан цилиндр. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, по которым боковая поверхность цилиндра касается двух соседних боковых граней призмы.

127. В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна $a$, а высота — $H$. В призму вписан цилиндр. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, по которым боковая поверхность цилиндра касается двух соседних боковых граней призмы.

Поскольку призма является правильной четырехугольной, в ее основании лежит квадрат со стороной $a$. Цилиндр, вписанный в призму, имеет высоту, равную высоте призмы $H$, а его основания (окружности) вписаны в основания призмы (квадраты).

Радиус $r$ окружности, вписанной в квадрат со стороной $a$, равен половине этой стороны: $r = \frac{a}{2}$.

Боковая поверхность цилиндра касается боковых граней призмы по образующим. Сечение, площадь которого необходимо найти, проходит через две образующие, которые являются линиями касания с двумя соседними боковыми гранями призмы. Так как все образующие цилиндра параллельны, искомое сечение представляет собой прямоугольник.

Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра, то есть $H$.

Другая сторона прямоугольника равна расстоянию между этими образующими. Чтобы найти это расстояние, рассмотрим проекцию на плоскость основания. В основании призмы лежит квадрат, в который вписана окружность. Точки касания окружности с двумя соседними сторонами квадрата являются серединами этих сторон. Пусть основание призмы – квадрат $ABCD$, а точки касания со сторонами $AB$ и $BC$ – это точки $K$ и $L$ соответственно. Тогда расстояние между образующими равно длине отрезка $KL$.

Точки $K$ и $L$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KBL$ (угол $\angle B = 90^\circ$). Катеты этого треугольника равны половине стороны квадрата: $BK = BL = \frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $KL$, которая является второй стороной искомого сечения: $KL^2 = BK^2 + BL^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Отсюда длина отрезка $KL$ равна: $KL = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Площадь $S$ сечения (прямоугольника) равна произведению его сторон: $S = KL \cdot H = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot H = \frac{aH\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{aH\sqrt{2}}{2}$