Номер 126, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около этого цилиндра.

126. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около этого цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания ($2R$) и высоте цилиндра ($H$).

По условию, площадь этого осевого сечения равна $S$. Таким образом, мы можем записать:

$S = 2R \cdot H$

Теперь рассмотрим правильную треугольную призму, описанную около этого цилиндра. Это означает, что высота призмы равна высоте цилиндра ($H$), а основание цилиндра (окружность радиуса $R$) вписано в основание призмы (правильный треугольник).

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) находится по формуле:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания призмы.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна $a$. Тогда его периметр $P_{осн} = 3a$.

Связь между стороной равностороннего треугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $R$ выражается формулой:

$R = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Выразим из этой формулы сторону треугольника $a$:

$a = 2\sqrt{3} \cdot R$

Теперь найдем периметр основания призмы:

$P_{осн} = 3a = 3 \cdot (2\sqrt{3} \cdot R) = 6\sqrt{3}R$

Подставим найденный периметр в формулу площади боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (6\sqrt{3}R) \cdot H = 3\sqrt{3} \cdot (2RH)$

Мы знаем, что $S = 2RH$. Произведем замену в полученном выражении:

$S_{бок} = 3\sqrt{3} \cdot S$

Ответ: $3S\sqrt{3}$