Страница 52 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 9 см и 15 см, а боковая сторона — $3\sqrt{10}$ см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $45^{\circ}$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

119. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 9 см и 15 см, а боковая сторона — $3\sqrt{10}$ см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $45^\circ$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Для нахождения площади осевого сечения цилиндра, описанного около призмы, необходимо найти его высоту и диаметр основания. Высота цилиндра равна высоте призмы, а диаметр основания цилиндра равен диаметру окружности, описанной около основания призмы.

1. Анализ основания призмы (равнобокой трапеции)

Пусть дана равнобокая трапеция с основаниями $a = 15$ см и $b = 9$ см, и боковой стороной $c = 3\sqrt{10}$ см.Сначала найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Она отсечет от большего основания отрезок, длина которого равна полуразности оснований:

$\frac{a - b}{2} = \frac{15 - 9}{2} = 3$ см.

Этот отрезок, высота $h$ и боковая сторона $c$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$h^2 = c^2 - (\frac{a-b}{2})^2 = (3\sqrt{10})^2 - 3^2 = 90 - 9 = 81$

$h = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь найдем диагональ трапеции $d$. Диагональ, высота и часть большего основания образуют другой прямоугольный треугольник. Длина этого катета на большем основании равна $a - \frac{a-b}{2} = 15 - 3 = 12$ см. По теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + (a - \frac{a-b}{2})^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

$d = \sqrt{225} = 15$ см.

2. Нахождение высоты призмы и диаметра описанной окружности

Высота призмы $H_{пр}$ связана с диагональю основания $d$ через угол между диагональю призмы и плоскостью основания, который равен $45^\circ$. Диагональ призмы, ее проекция на основание (диагональ трапеции $d$) и высота призмы $H_{пр}$ образуют прямоугольный треугольник. Так как один из острых углов равен $45^\circ$, этот треугольник равнобедренный, и его катеты равны:

$H_{пр} = d = 15$ см.

Высота описанного цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы, следовательно, $H_{цил} = 15$ см.

Диаметр $D_{цил}$ основания цилиндра равен диаметру окружности, описанной около трапеции. Эту окружность можно рассматривать как описанную около треугольника, образованного боковой стороной, диагональю и большим основанием трапеции. Стороны этого треугольника равны $15$ см, $15$ см и $3\sqrt{10}$ см.Найдем радиус $R$ описанной окружности по формуле $R = \frac{xyz}{4S}$, где $x, y, z$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Площадь этого треугольника $S_{\triangle}$ найдем, зная его основание ($15$ см) и высоту к нему (высота трапеции $h = 9$ см):

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 9 = \frac{135}{2} = 67.5$ см$^2$.

Теперь вычислим радиус:

$R = \frac{15 \cdot 15 \cdot 3\sqrt{10}}{4 \cdot 67.5} = \frac{675\sqrt{10}}{270} = \frac{5\sqrt{10}}{2}$ см.

Диаметр основания цилиндра равен:

$D_{цил} = 2R = 2 \cdot \frac{5\sqrt{10}}{2} = 5\sqrt{10}$ см.

3. Нахождение площади осевого сечения цилиндра

Осевое сечение цилиндра является прямоугольником со сторонами, равными диаметру основания $D_{цил}$ и высоте цилиндра $H_{цил}$.

$S_{сеч} = D_{цил} \cdot H_{цил} = 5\sqrt{10} \cdot 15 = 75\sqrt{10}$ см$^2$.

Ответ: $75\sqrt{10}$ см$^2$.

120. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёх-угольной призмы, вписанной в этот цилиндр.

120. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёх-угольной призмы, вписанной в этот цилиндр.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $D = 2R$ и высоте $H$. По условию, площадь этого сечения равна $S$. Таким образом, мы можем записать:
$S = D \cdot H = 2RH$.

В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма. Это значит, что основаниями призмы являются квадраты, вписанные в окружности оснований цилиндра, а высота призмы равна высоте цилиндра $H$.

Рассмотрим основание призмы — квадрат, вписанный в окружность радиуса $R$. Диагональ $d$ этого квадрата равна диаметру окружности, то есть $d = 2R$. Пусть сторона квадрата равна $a$. Связь между стороной и диагональю квадрата описывается теоремой Пифагора:
$a^2 + a^2 = d^2$
$2a^2 = (2R)^2 = 4R^2$
Отсюда находим сторону квадрата:
$a = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра её основания ($P_{осн}$) на высоту ($H$).
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.
Периметр основания (квадрата) равен:
$P_{осн} = 4a = 4(R\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}R$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = (4\sqrt{2}R) \cdot H = 4\sqrt{2}RH$.

Из формулы для площади осевого сечения цилиндра $S = 2RH$ мы можем выразить произведение $RH$:
$RH = \frac{S}{2}$.

Подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности призмы, чтобы выразить её через $S$:
$S_{бок} = 4\sqrt{2} \cdot (RH) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{S}{2} = 2\sqrt{2}S$.

Ответ: $2\sqrt{2}S$

121. Около правильной четырёхугольной призмы описан цилиндр, радиус основания которого равен $r$, а угол между диагональю осевого сечения цилиндра и образующей равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

121. Около правильной четырёхугольной призмы описан цилиндр, радиус основания которого равен $r$, а угол между диагональю осевого сечения цилиндра и образующей равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы находится по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдём сторону и периметр основания призмы.
Так как призма правильная четырёхугольная, её основанием является квадрат. Поскольку цилиндр описан около призмы, квадрат-основание вписан в окружность-основание цилиндра. Диагональ $d$ этого квадрата равна диаметру $D$ окружности. Радиус окружности по условию равен $r$, значит, диаметр $D = 2r$. Следовательно, $d = 2r$.
Диагональ квадрата связана с его стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$. Приравняем выражения для диагонали: $a\sqrt{2} = 2r$
Отсюда выразим сторону квадрата: $a = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$.
Периметр основания призмы (квадрата) равен: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot r\sqrt{2} = 4\sqrt{2}r$.

2. Найдём высоту призмы.
Высота призмы $h$ равна высоте (образующей) описанного цилиндра. Рассмотрим осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $D=2r$ и высоте $h$. Диагональ этого сечения, образующая (сторона $h$) и диаметр основания (сторона $2r$) образуют прямоугольный треугольник. По условию, угол между диагональю осевого сечения и образующей равен $\beta$. В этом прямоугольном треугольнике катет, равный $2r$, является противолежащим углу $\beta$, а катет, равный $h$, — прилежащим. По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике: $\tan\beta = \frac{противолежащий\ катет}{прилежащий\ катет} = \frac{2r}{h}$
Отсюда выражаем высоту $h$: $h = \frac{2r}{\tan\beta} = 2r\cot\beta$.

3. Найдём площадь боковой поверхности призмы.
Подставим найденные значения периметра основания $P_{осн}$ и высоты $h$ в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4\sqrt{2}r) \cdot (2r\cot\beta) = 8\sqrt{2}r^2\cot\beta$.

Ответ: $8\sqrt{2}r^2\cot\beta$.

122. Правильная шестиугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен $3\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности призмы равна $108 \text{ см}^2$.

Найдите высоту цилиндра.

122. Правильная шестиугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен $3\sqrt{3}$ см. Площадь боковой поверхности призмы равна $108$ $\text{см}^2$. Найдите высоту цилиндра.

Поскольку правильная шестиугольная призма описана около цилиндра, их высоты равны. Таким образом, высота цилиндра $h$ равна высоте призмы $H$.

Основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (правильный шестиугольник). Это означает, что радиус основания цилиндра $r$ равен радиусу окружности, вписанной в шестиугольник. Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности является его апофемой $a$.

По условию, радиус основания цилиндра $r = 3\sqrt{3}$ см, следовательно, апофема шестиугольника в основании призмы $a = 3\sqrt{3}$ см.

Связь между стороной правильного шестиугольника $s$ и его апофемой $a$ выражается формулой: $a = \frac{s\sqrt{3}}{2}$.

Найдем сторону основания призмы $s$ из этой формулы:

$3\sqrt{3} = \frac{s\sqrt{3}}{2}$

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$, получаем:

$3 = \frac{s}{2}$

$s = 6$ см.

Периметр основания призмы $P_{осн}$ равен сумме длин всех его сторон:

$P_{осн} = 6 \cdot s = 6 \cdot 6 = 36$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

По условию, $S_{бок} = 108$ см². Теперь мы можем найти высоту призмы $H$:

$H = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{108}{36} = 3$ см.

Так как высота призмы равна высоте цилиндра, то высота цилиндра $h = 3$ см.

Ответ: 3 см.

123. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, а около него описана правильная четырёхугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

123. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, а около него описана правильная четырёхугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$. Так как обе призмы вписаны в цилиндр или описаны около него, их высота также равна $H$.

Сначала найдем площадь боковой поверхности вписанной правильной шестиугольной призмы. Основание этой призмы — правильный шестиугольник, вписанный в окружность основания цилиндра радиусом $R$. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Обозначим сторону шестиугольника как $a_6$. Тогда $a_6 = R$.Периметр основания $P_6$ равен:$P_6 = 6 \cdot a_6 = 6R$.Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы $S_6$ вычисляется как произведение периметра основания на высоту:$S_6 = P_6 \cdot H = 6RH$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности описанной правильной четырёхугольной призмы. Ее основание — правильный четырёхугольник (то есть квадрат), описанный около окружности основания цилиндра. Сторона квадрата, описанного около окружности радиуса $R$, равна диаметру этой окружности. Обозначим сторону квадрата как $a_4$. Тогда $a_4 = 2R$.Периметр основания $P_4$ равен:$P_4 = 4 \cdot a_4 = 4 \cdot (2R) = 8R$.Площадь боковой поверхности четырёхугольной призмы $S_4$ равна:$S_4 = P_4 \cdot H = 8RH$.

Найдём отношение площадей боковых поверхностей этих призм (площади шестиугольной призмы к площади четырёхугольной призмы):
$\frac{S_6}{S_4} = \frac{6RH}{8RH} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

124. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 18 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{362}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

124. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 18 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{362}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Для решения задачи нам необходимо найти радиус основания и высоту вписанного цилиндра. Высота цилиндра равна высоте призмы, а радиус его основания равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы (трапецию).

1. Нахождение параметров трапеции в основании призмы.

Пусть основания равнобокой трапеции равны $a = 18$ см и $b = 8$ см, а боковая сторона — $c$. Поскольку в призму вписан цилиндр, то в ее основание, трапецию, можно вписать окружность. Главное свойство описанного четырехугольника — равенство сумм длин противоположных сторон. Для равнобокой трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$a + b = 2c$
$18 + 8 = 2c$
$26 = 2c$
$c = 13$ см.

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Если из вершины меньшего основания опустить высоту на большее основание, то она отсечет от него отрезок, длина которого вычисляется как $\frac{a-b}{2}$.
Длина отрезка = $\frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$ (гипотенуза), высотой $h$ и этим отрезком (катеты). По теореме Пифагора:
$h^2 + 5^2 = 13^2$
$h^2 + 25 = 169$
$h^2 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Радиус $r$ вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты. Этот радиус также является радиусом основания вписанного цилиндра.
$r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Нахождение высоты призмы.

Пусть высота призмы (и цилиндра) равна $H$. Диагональ призмы $D_{пр}$, ее высота $H$ и диагональ основания $d_{осн}$ связаны соотношением (для прямой призмы): $D_{пр}^2 = H^2 + d_{осн}^2$.
Сначала найдем квадрат диагонали основания трапеции, $d_{осн}^2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота трапеции $h$ и отрезок большего основания, равный $a - \frac{a-b}{2} = 18 - 5 = 13$ см. Гипотенузой этого треугольника является диагональ трапеции $d_{осн}$.
По теореме Пифагора:
$d_{осн}^2 = h^2 + (13)^2 = 12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313$.

Теперь, зная диагональ призмы $D_{пр} = \sqrt{362}$, найдем ее высоту $H$:
$(\sqrt{362})^2 = H^2 + 313$
$362 = H^2 + 313$
$H^2 = 362 - 313 = 49$
$H = \sqrt{49} = 7$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r H$.
Подставим найденные значения $r = 6$ см и $H = 7$ см:
$S_{бок} = 2 \pi \cdot 6 \cdot 7 = 84\pi$ см².

Ответ: $84\pi$ см².

125. Основанием призмы является ромб, меньшая диагональ которого равна $d$, а острый угол равен $\alpha$. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

125. Основанием призмы является ромб, меньшая диагональ которого равна $d$, а острый угол равен $\alpha$. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Площадь осевого сечения вписанного цилиндра, $S_{сеч}$, является произведением его диаметра $D_{цил}$ на высоту $H_{цил}$.$S_{сеч} = D_{цил} \cdot H_{цил}$.

Так как цилиндр вписан в призму (подразумевается, что призма прямая), его высота равна высоте призмы, $H_{цил} = H_{призмы}$. Основание цилиндра — это окружность, вписанная в основание призмы, то есть в ромб. Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте этого ромба, $h_{ромба}$. Таким образом, $D_{цил} = h_{ромба}$.Задача сводится к нахождению высоты ромба и высоты призмы.

Сначала найдем параметры основания (ромба). Пусть сторона ромба равна $a$, а острый угол — $\alpha$. Меньшая диагональ $d$ лежит напротив острого угла. Из треугольника, образованного двумя сторонами ромба $a$ и диагональю $d$, по теореме косинусов:$d^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\cos\alpha = 2a^2(1 - \cos\alpha)$.Используя формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$, получаем $d^2 = 4a^2\sin^2(\alpha/2)$, откуда сторона ромба $a = \frac{d}{2\sin(\alpha/2)}$.Высота ромба $h_{ромба}$ вычисляется по формуле $h_{ромба} = a \sin\alpha$. Подставив найденное значение $a$ и применив формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$, получим:$h_{ромба} = \frac{d}{2\sin(\alpha/2)} \cdot (2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)) = d\cos(\alpha/2)$.Следовательно, диаметр цилиндра $D_{цил} = d\cos(\alpha/2)$.

Теперь найдем высоту призмы $H_{призмы}$. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этой диагонали на основание является большая диагональ ромба, обозначим ее $D_{ромба}$. Высота призмы $H_{призмы}$, большая диагональ ромба $D_{ромба}$ и большая диагональ призмы образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике выполняется соотношение: $\tan\beta = \frac{H_{призмы}}{D_{ромба}}$, откуда $H_{призмы} = D_{ромба} \cdot \tan\beta$.Найдем большую диагональ ромба. Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату стороны, умноженному на 4: $d^2 + D_{ромба}^2 = 4a^2$.$D_{ромба}^2 = 4a^2 - d^2 = 4\left(\frac{d}{2\sin(\alpha/2)}\right)^2 - d^2 = \frac{d^2}{\sin^2(\alpha/2)} - d^2 = d^2\left(\frac{1 - \sin^2(\alpha/2)}{\sin^2(\alpha/2)}\right) = d^2\frac{\cos^2(\alpha/2)}{\sin^2(\alpha/2)} = d^2\cot^2(\alpha/2)$.Отсюда $D_{ромба} = d\cot(\alpha/2)$.Теперь находим высоту призмы: $H_{призмы} = D_{ромба} \tan\beta = d\cot(\alpha/2)\tan\beta$.Следовательно, высота цилиндра $H_{цил} = d\cot(\alpha/2)\tan\beta$.

Наконец, вычислим площадь осевого сечения цилиндра:$S_{сеч} = D_{цил} \cdot H_{цил} = (d\cos(\alpha/2)) \cdot (d\cot(\alpha/2)\tan\beta)$.$S_{сеч} = d^2 \cos(\alpha/2) \cdot \frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} \cdot \tan\beta = d^2 \frac{\cos^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} \tan\beta$.

Ответ: $d^2 \frac{\cos^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} \tan\beta$.

126. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около этого цилиндра.

126. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около этого цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания ($2R$) и высоте цилиндра ($H$).

По условию, площадь этого осевого сечения равна $S$. Таким образом, мы можем записать:

$S = 2R \cdot H$

Теперь рассмотрим правильную треугольную призму, описанную около этого цилиндра. Это означает, что высота призмы равна высоте цилиндра ($H$), а основание цилиндра (окружность радиуса $R$) вписано в основание призмы (правильный треугольник).

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) находится по формуле:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания призмы.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна $a$. Тогда его периметр $P_{осн} = 3a$.

Связь между стороной равностороннего треугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $R$ выражается формулой:

$R = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Выразим из этой формулы сторону треугольника $a$:

$a = 2\sqrt{3} \cdot R$

Теперь найдем периметр основания призмы:

$P_{осн} = 3a = 3 \cdot (2\sqrt{3} \cdot R) = 6\sqrt{3}R$

Подставим найденный периметр в формулу площади боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (6\sqrt{3}R) \cdot H = 3\sqrt{3} \cdot (2RH)$

Мы знаем, что $S = 2RH$. Произведем замену в полученном выражении:

$S_{бок} = 3\sqrt{3} \cdot S$

Ответ: $3S\sqrt{3}$

127. В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна $a$, а высота — $H$. В призму вписан цилиндр. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, по которым боковая поверхность цилиндра касается двух соседних боковых граней призмы.

127. В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна $a$, а высота — $H$. В призму вписан цилиндр. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, по которым боковая поверхность цилиндра касается двух соседних боковых граней призмы.

Поскольку призма является правильной четырехугольной, в ее основании лежит квадрат со стороной $a$. Цилиндр, вписанный в призму, имеет высоту, равную высоте призмы $H$, а его основания (окружности) вписаны в основания призмы (квадраты).

Радиус $r$ окружности, вписанной в квадрат со стороной $a$, равен половине этой стороны: $r = \frac{a}{2}$.

Боковая поверхность цилиндра касается боковых граней призмы по образующим. Сечение, площадь которого необходимо найти, проходит через две образующие, которые являются линиями касания с двумя соседними боковыми гранями призмы. Так как все образующие цилиндра параллельны, искомое сечение представляет собой прямоугольник.

Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра, то есть $H$.

Другая сторона прямоугольника равна расстоянию между этими образующими. Чтобы найти это расстояние, рассмотрим проекцию на плоскость основания. В основании призмы лежит квадрат, в который вписана окружность. Точки касания окружности с двумя соседними сторонами квадрата являются серединами этих сторон. Пусть основание призмы – квадрат $ABCD$, а точки касания со сторонами $AB$ и $BC$ – это точки $K$ и $L$ соответственно. Тогда расстояние между образующими равно длине отрезка $KL$.

Точки $K$ и $L$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KBL$ (угол $\angle B = 90^\circ$). Катеты этого треугольника равны половине стороны квадрата: $BK = BL = \frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $KL$, которая является второй стороной искомого сечения: $KL^2 = BK^2 + BL^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Отсюда длина отрезка $KL$ равна: $KL = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Площадь $S$ сечения (прямоугольника) равна произведению его сторон: $S = KL \cdot H = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot H = \frac{aH\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{aH\sqrt{2}}{2}$