Страница 54 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания равен $30^\circ$. Высота конуса равна 12 см. Найдите:

1) площадь образовавшегося сечения;

2) площадь боковой поверхности конуса.

137. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания равен $30^\circ$. Высота конуса равна $12 \text{ см}$. Найдите:

1) площадь образовавшегося сечения;

2) площадь боковой поверхности конуса.

Пусть $S$ – вершина конуса, $O$ – центр основания, $SO$ – высота конуса, $H = SO = 12$ см. Плоскость сечения проходит через две образующие $SA$ и $SB$ и пересекает основание по хорде $AB$. Образовавшееся сечение – это треугольник $SAB$.

Хорда $AB$ стягивает дугу в $90^\circ$, следовательно, центральный угол $\angle AOB = 90^\circ$. Треугольник $AOB$ – прямоугольный и равнобедренный ($OA = OB = R$, где $R$ – радиус основания конуса).

Угол между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания – это двугранный угол. Проведем апофему сечения $SK$, где $K$ – середина хорды $AB$. Так как $\triangle SAB$ равнобедренный ($SA=SB$), то $SK$ является его высотой, т.е. $SK \perp AB$. В основании проведем $OK$. Так как $\triangle AOB$ равнобедренный, то медиана $OK$ является и высотой, т.е. $OK \perp AB$. Таким образом, угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла, и по условию $\angle SKO = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$ ( $\angle SOK = 90^\circ$ ). Мы знаем $SO = 12$ см и $\angle SKO = 30^\circ$.

Площадь сечения (треугольника $SAB$) вычисляется по формуле $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK$. Найдем $SK$ и $AB$.

Из прямоугольного треугольника $SOK$ найдем гипотенузу $SK$ (высоту сечения):
$\sin(\angle SKO) = \frac{SO}{SK} \implies \sin(30^\circ) = \frac{12}{SK}$
$\frac{1}{2} = \frac{12}{SK} \implies SK = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Теперь найдем катет $OK$ из того же треугольника $SOK$:
$\tan(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} \implies \tan(30^\circ) = \frac{12}{OK}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{OK} \implies OK = 12\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$ в основании конуса ($\angle OKA = 90^\circ$). Так как $\triangle AOB$ равнобедренный и прямоугольный, то $\angle OAB = \angle OBA = 45^\circ$. Тогда из $\triangle AOK$ найдем $AK$:
$\tan(\angle OAK) = \frac{OK}{AK} \implies \tan(45^\circ) = \frac{12\sqrt{3}}{AK}$
$1 = \frac{12\sqrt{3}}{AK} \implies AK = 12\sqrt{3}$ см.

Хорда $AB = 2 \cdot AK = 2 \cdot 12\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить площадь сечения:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 24 = 12 \cdot 24\sqrt{3} = 288\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $288\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ – радиус основания, а $l$ – длина образующей.

Найдем радиус основания $R=OA$. Из прямоугольного треугольника $AOK$ по теореме Пифагора:
$R^2 = OA^2 = OK^2 + AK^2 = (12\sqrt{3})^2 + (12\sqrt{3})^2 = 2 \cdot (12\sqrt{3})^2$
$R = \sqrt{2} \cdot 12\sqrt{3} = 12\sqrt{6}$ см.

Найдем длину образующей $l=SA$. Из прямоугольного треугольника $SOA$ по теореме Пифагора:
$l^2 = SA^2 = SO^2 + OA^2 = H^2 + R^2$
$l^2 = 12^2 + (12\sqrt{6})^2 = 144 + 144 \cdot 6 = 144 \cdot (1+6) = 144 \cdot 7$
$l = \sqrt{144 \cdot 7} = 12\sqrt{7}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi R l = \pi \cdot (12\sqrt{6}) \cdot (12\sqrt{7}) = 144\pi\sqrt{42}$ см$^2$.

Ответ: $144\pi\sqrt{42}$ см$^2$.

138. В основании конуса проведена хорда CD на расстоянии $2\sqrt{13}$ см от центра O основания, отрезок SO — высота конуса. Найдите высоту конуса, если точка O удалена от плоскости CDS на 6 см.

138. В основании конуса проведена хорда CD на расстоянии $2\sqrt{13}$ см от центра O основания, отрезок SO — высота конуса. Найдите высоту конуса, если точка O удалена от плоскости CDS на 6 см.

Пусть $SO = H$ — высота конуса, а $O$ — центр его основания. В основании проведена хорда $CD$. Расстояние от центра основания $O$ до хорды $CD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на хорду $CD$. Обозначим середину хорды $CD$ как точку $M$. Тогда $OM \perp CD$ и, по условию задачи, $OM = 2\sqrt{13}$ см.

Поскольку $SO$ является высотой конуса, отрезок $SO$ перпендикулярен плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $SO \perp OM$. Таким образом, треугольник $\triangle SOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Рассмотрим плоскость сечения $CDS$. Прямая $CD$ лежит в этой плоскости. Так как $OM \perp CD$ (по построению) и $SO \perp CD$ (так как $SO$ перпендикулярна всей плоскости основания), то прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($SO$ и $OM$) в плоскости $SOM$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $SOM$.

Поскольку плоскость $CDS$ проходит через прямую $CD$, которая перпендикулярна плоскости $SOM$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $CDS$ перпендикулярна плоскости $SOM$.

Расстояние от точки $O$ до плоскости $CDS$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $CDS$. Обозначим его $OK$, где $K$ — основание перпендикуляра. По условию $OK = 6$ см. Так как плоскости $CDS$ и $SOM$ взаимно перпендикулярны, то перпендикуляр $OK$, проведенный из точки $O$ (лежащей в плоскости $SOM$) к плоскости $CDS$, должен лежать в плоскости $SOM$ и быть перпендикулярным линии их пересечения — прямой $SM$.

Следовательно, $OK$ является высотой прямоугольного треугольника $\triangle SOM$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $SM$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$ с катетами $SO = H$ и $OM = 2\sqrt{13}$ и высотой к гипотенузе $OK = 6$ см, справедливо следующее метрическое соотношение:

$\frac{1}{OK^2} = \frac{1}{SO^2} + \frac{1}{OM^2}$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{1}{6^2} = \frac{1}{H^2} + \frac{1}{(2\sqrt{13})^2}$

$\frac{1}{36} = \frac{1}{H^2} + \frac{1}{4 \cdot 13}$

$\frac{1}{36} = \frac{1}{H^2} + \frac{1}{52}$

Выразим из этого уравнения $\frac{1}{H^2}$:

$\frac{1}{H^2} = \frac{1}{36} - \frac{1}{52}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 36 и 52 равно 468 ($36 = 4 \cdot 9$, $52 = 4 \cdot 13$, $LCM(36, 52) = 4 \cdot 9 \cdot 13 = 468$).

$\frac{1}{H^2} = \frac{13}{468} - \frac{9}{468} = \frac{13-9}{468} = \frac{4}{468}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{1}{H^2} = \frac{1}{117}$

Отсюда следует, что $H^2 = 117$.

Теперь найдем высоту $H$:

$H = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$ см.

Ответ: $3\sqrt{13}$ см.

139. Через две образующие конуса проведено сечение, площадь которого равна $S$. Угол между одной их этих образующих и хордой, по которой проведённое сечение пересекает основание, равен $\alpha$, а угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $\gamma$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

139. Через две образующие конуса проведено сечение, площадь которого равна $S$. Угол между одной их этих образующих и хордой, по которой проведённое сечение пересекает основание, равен $\alpha$, а угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $\gamma$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Обозначим вершину конуса как P, центр его основания как O, образующую как $l$, а радиус основания как $R$. Сечение, проходящее через две образующие PA и PB, представляет собой равнобедренный треугольник PAB, где $PA = PB = l$. Площадь этого треугольника по условию равна $S$.

Угол между образующей (например, PA) и хордой AB, по которой сечение пересекает основание, равен $\alpha$. Таким образом, в треугольнике PAB угол $\angle PAB = \alpha$. Поскольку $\triangle PAB$ является равнобедренным, то и второй угол при основании $\angle PBA = \alpha$. Угол при вершине P будет равен $\angle APB = 180^\circ - 2\alpha = \pi - 2\alpha$.

Площадь треугольника PAB можно выразить через длины двух его сторон и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot PB \cdot \sin(\angle APB) = \frac{1}{2} l \cdot l \cdot \sin(\pi - 2\alpha) = \frac{1}{2} l^2 \sin(2\alpha)$. Из этого выражения найдем квадрат длины образующей: $l^2 = \frac{2S}{\sin(2\alpha)}$.

Площадь боковой поверхности конуса определяется формулой $S_{бок} = \pi R l$. Чтобы найти ее, нам необходимо определить радиус основания $R$.

Угол $\gamma$ между плоскостью сечения (PAB) и плоскостью основания является двугранным углом при ребре AB. Для его измерения построим соответствующий линейный угол. Проведем медиану PM в треугольнике PAB. Так как $\triangle PAB$ равнобедренный, PM также является его высотой, т.е. $PM \perp AB$. В плоскости основания соединим центр O с серединой хорды AB, точкой M. В равнобедренном треугольнике OAB (OA = OB = R) медиана OM также является высотой, т.е. $OM \perp AB$. Таким образом, угол между отрезками PM и OM, перпендикулярными к линии пересечения плоскостей AB, является линейным углом двугранного угла, и $\angle PMO = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник POM (угол $\angle POM = 90^\circ$, так как PO - высота конуса). Также рассмотрим прямоугольный треугольник OMA в плоскости основания (угол $\angle OMA = 90^\circ$). По теореме Пифагора для $\triangle OMA$: $R^2 = OA^2 = OM^2 + AM^2$.

Найдем длины катетов AM и OM. Из прямоугольного треугольника PMA (угол $\angle PMA = 90^\circ$): $AM = PA \cdot \cos(\angle PAM) = l \cos\alpha$. $PM = PA \cdot \sin(\angle PAM) = l \sin\alpha$.

Теперь из прямоугольного треугольника PMO (угол $\angle POM = 90^\circ$): $OM = PM \cdot \cos(\angle PMO) = (l \sin\alpha) \cos\gamma$.

Подставим найденные выражения для AM и OM в формулу для квадрата радиуса: $R^2 = (l \sin\alpha \cos\gamma)^2 + (l \cos\alpha)^2 = l^2\sin^2\alpha\cos^2\gamma + l^2\cos^2\alpha = l^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\gamma)$. Упростим выражение в скобках, используя тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\gamma = (1 - \sin^2\alpha) + \sin^2\alpha\cos^2\gamma = 1 - \sin^2\alpha(1 - \cos^2\gamma) = 1 - \sin^2\alpha\sin^2\gamma$. Следовательно, $R^2 = l^2(1 - \sin^2\alpha\sin^2\gamma)$.

Теперь мы готовы вычислить площадь боковой поверхности конуса. Удобнее сначала найти ее квадрат: $S_{бок}^2 = (\pi R l)^2 = \pi^2 R^2 l^2$. Подставим найденное выражение для $R^2$: $S_{бок}^2 = \pi^2 [l^2(1 - \sin^2\alpha\sin^2\gamma)] l^2 = \pi^2 l^4 (1 - \sin^2\alpha\sin^2\gamma)$. Извлекая квадратный корень, получаем: $S_{бок} = \pi l^2 \sqrt{1 - \sin^2\alpha\sin^2\gamma}$.

Наконец, подставим выражение для $l^2 = \frac{2S}{\sin(2\alpha)}$ в полученную формулу: $S_{бок} = \pi \frac{2S}{\sin(2\alpha)} \sqrt{1 - \sin^2\alpha \sin^2\gamma}$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{2\pi S}{\sin(2\alpha)} \sqrt{1 - \sin^2\alpha \sin^2\gamma}$.

140. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен 9 см. Найдите градусную меру дуги этого сектора, если радиус основания конуса равен 3 см.

140. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен 9 см. Найдите градусную меру дуги этого сектора, если радиус основания конуса равен 3 см.

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса ($l$), а длина дуги сектора ($L_{дуги}$) равна длине окружности основания конуса ($C$).

По условию задачи даны:

• Радиус сектора (он же образующая конуса): $l = 9$ см.
• Радиус основания конуса: $r = 3$ см.

Необходимо найти градусную меру дуги сектора, обозначим её как $\alpha$.

1. Сначала найдём длину окружности основания конуса по формуле $C = 2 \pi r$:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 3 = 6\pi$ см.

2. Длина дуги сектора развёртки равна длине окружности основания конуса:

$L_{дуги} = C = 6\pi$ см.

3. Длина дуги сектора также выражается через радиус сектора ($l$) и центральный угол ($\alpha$) по формуле:

$L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi l$

4. Приравняем два выражения для длины дуги и подставим известные значения, чтобы найти $\alpha$:

$6\pi = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot 9$

$6\pi = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 18\pi$

5. Решим полученное уравнение. Разделим обе части на $\pi$:

$6 = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 18$

Выразим $\alpha$:

$\alpha = \frac{6 \cdot 360^{\circ}}{18}$

$\alpha = \frac{1}{3} \cdot 360^{\circ}$

$\alpha = 120^{\circ}$

Можно также воспользоваться готовой формулой, связывающей угол развёртки $\alpha$, радиус основания $r$ и образующую $l$:

$\alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^{\circ}$

Подставив значения, получим тот же результат:

$\alpha = \frac{3}{9} \cdot 360^{\circ} = \frac{1}{3} \cdot 360^{\circ} = 120^{\circ}$

Ответ: 120°.

141. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, центральный угол которого равен $240^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, если площадь его боковой поверхности равна $96\pi$ см$^{\text{2}}$.

141. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, центральный угол которого равен $240^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, если площадь его боковой поверхности равна $96\pi \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площади основания ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

По условию задачи, площадь боковой поверхности конуса известна: $S_{бок} = 96π \text{ см}^2$.

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса $L$, а его площадь равна площади боковой поверхности конуса. Центральный угол сектора $α = 240°$.

Формула площади сектора через его радиус $L$ и центральный угол $α$ (в градусах) выглядит так:

$S_{сектора} = \frac{πL^2α}{360}$

Подставим известные значения ($S_{сектора} = S_{бок} = 96π$ и $α = 240°$) и найдём образующую $L$:

$96π = \frac{πL^2 \cdot 240}{360}$

Сократим дробь $\frac{240}{360}$ на 120, получим $\frac{2}{3}$:

$96π = \frac{2}{3}πL^2$

Разделим обе части уравнения на $π$ и выразим $L^2$:

$L^2 = 96 \cdot \frac{3}{2} = 48 \cdot 3 = 144$

$L = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь, зная образующую $L$ и площадь боковой поверхности $S_{бок}$, мы можем найти радиус основания конуса $r$ из формулы $S_{бок} = πrL$:

$96π = π \cdot r \cdot 12$

Разделим обе части на $12π$:

$r = \frac{96π}{12π} = 8$ см.

Далее вычислим площадь основания конуса, которое представляет собой круг радиусом $r$:

$S_{осн} = πr^2 = π \cdot 8^2 = 64π \text{ см}^2$.

Наконец, найдём площадь полной поверхности конуса, сложив площади боковой поверхности и основания:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 96π + 64π = 160π \text{ см}^2$.

Ответ: $160π \text{ см}^2$.

142. Прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей другой катет. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.

142. Прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей другой катет. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.

Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого один катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\alpha$. Обозначим этот катет как $AC = a$, а прилежащий угол как $\angle CAB = \alpha$. Второй катет обозначим как $BC$, а гипотенузу — $AB$. Прямой угол находится при вершине $C$.

Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей другой катет, то есть вокруг катета $BC$. При таком вращении образуется конус. Катет $AC$, перпендикулярный оси вращения, образует основание конуса. Следовательно, радиус основания конуса $r$ равен длине катета $AC$.

$r = a$

Гипотенуза $AB$ при вращении образует боковую поверхность конуса и является его образующей. Обозначим длину образующей как $l$.

$l = AB$

Рассмотрим исходный прямоугольный треугольник. В нем катет $AC$ является прилежащим к углу $\alpha$, а $AB$ — гипотенузой. Связь между ними выражается через косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{l}$

Из этого соотношения выразим длину образующей $l$:

$l = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

Подставим в эту формулу найденные значения радиуса $r$ и образующей $l$:

$S_{бок} = \pi \cdot a \cdot \frac{a}{\cos(\alpha)} = \frac{\pi a^2}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{\cos(\alpha)}$

143. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей среднюю из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

143. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей среднюю из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть стороны треугольника равны $a = 13$ см, $b = 14$ см и $c = 15$ см. Согласно условию, треугольник вращается вокруг прямой, содержащей среднюю из его сторон, то есть сторону $b = 14$ см.

Тело, полученное в результате такого вращения, состоит из двух конусов, имеющих общее основание. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей данных конусов.

Образующими этих конусов являются две другие стороны треугольника, то есть $l_1 = 13$ см и $l_2 = 15$ см. Радиусом $r$ общего основания конусов является высота треугольника $h$, опущенная на сторону, вокруг которой происходит вращение (сторону длиной 14 см).

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Таким образом, искомая площадь поверхности тела вращения $S$ будет равна: $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$.

1. Найдем радиус r (высоту треугольника h).
Для этого сначала вычислим площадь треугольника по формуле Герона. Найдем полупериметр $p$: $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
Теперь найдем площадь треугольника $S_{\triangle}$: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$ $S_{\triangle} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см².
С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} b h$. В нашем случае основанием является сторона вращения $b = 14$ см, а высотой — искомый радиус $r=h$. $84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot r$ $84 = 7r$ $r = \frac{84}{7} = 12$ см.

2. Найдем площадь поверхности тела вращения.
Теперь, зная радиус $r=12$ см и образующие $l_1 = 13$ см и $l_2 = 15$ см, мы можем вычислить площадь поверхности. $S = \pi r (l_1 + l_2) = \pi \cdot 12 \cdot (13 + 15)$ $S = 12\pi \cdot 28$ $S = 336\pi$ см².

Ответ: $336\pi$ см².

144. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна $h$, а один из острых углов равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

144. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна $h$, а один из острых углов равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Высота, опущенная из вершины $C$ на гипотенузу $AB$, равна $CD=h$. Пусть один из острых углов, например $\angle CAB$, равен $\alpha$.

При вращении треугольника $ABC$ вокруг прямой, содержащей гипотенузу $AB$, образуется тело, состоящее из двух конусов с общим основанием. Радиус этого общего основания равен высоте треугольника $R=CD=h$, а образующими конусов являются катеты треугольника $AC$ и $BC$.

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ – радиус основания, а $l$ – длина образующей. В нашем случае $R=h$, а образующие – $AC$ и $BC$.

Таким образом, искомая площадь: $S = \pi h \cdot AC + \pi h \cdot BC = \pi h (AC + BC)$.

Найдем длины катетов $AC$ и $BC$, выразив их через $h$ и $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ (с прямым углом $D$). В нем $\angle CAD = \alpha$ и противолежащий катет $CD = h$. Из определения синуса: $\sin(\alpha) = \frac{CD}{AC} = \frac{h}{AC}$, откуда $AC = \frac{h}{\sin\alpha}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$ (с прямым углом $D$). Угол $\angle CBA$ в исходном треугольнике $ABC$ равен $90^\circ - \alpha$. Следовательно, в треугольнике $BDC$ угол $\angle BCD = 90^\circ - \angle CBD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. В треугольнике $BDC$ прилежащий к углу $\alpha$ катет равен $CD = h$. Из определения косинуса: $\cos(\angle BCD) = \cos\alpha = \frac{CD}{BC} = \frac{h}{BC}$, откуда $BC = \frac{h}{\cos\alpha}$.

Подставим найденные выражения для $AC$ и $BC$ в формулу для площади поверхности: $S = \pi h (AC + BC) = \pi h \left( \frac{h}{\sin\alpha} + \frac{h}{\cos\alpha} \right)$.

Упрощая, получаем окончательное выражение: $S = \pi h^2 \left( \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1}{\cos\alpha} \right) = \pi h^2 \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Ответ: $S = \frac{\pi h^2 (\sin\alpha + \cos\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}$.