Номер 144, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна $h$, а один из острых углов равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

144. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна $h$, а один из острых углов равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Высота, опущенная из вершины $C$ на гипотенузу $AB$, равна $CD=h$. Пусть один из острых углов, например $\angle CAB$, равен $\alpha$.

При вращении треугольника $ABC$ вокруг прямой, содержащей гипотенузу $AB$, образуется тело, состоящее из двух конусов с общим основанием. Радиус этого общего основания равен высоте треугольника $R=CD=h$, а образующими конусов являются катеты треугольника $AC$ и $BC$.

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ – радиус основания, а $l$ – длина образующей. В нашем случае $R=h$, а образующие – $AC$ и $BC$.

Таким образом, искомая площадь: $S = \pi h \cdot AC + \pi h \cdot BC = \pi h (AC + BC)$.

Найдем длины катетов $AC$ и $BC$, выразив их через $h$ и $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ (с прямым углом $D$). В нем $\angle CAD = \alpha$ и противолежащий катет $CD = h$. Из определения синуса: $\sin(\alpha) = \frac{CD}{AC} = \frac{h}{AC}$, откуда $AC = \frac{h}{\sin\alpha}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$ (с прямым углом $D$). Угол $\angle CBA$ в исходном треугольнике $ABC$ равен $90^\circ - \alpha$. Следовательно, в треугольнике $BDC$ угол $\angle BCD = 90^\circ - \angle CBD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. В треугольнике $BDC$ прилежащий к углу $\alpha$ катет равен $CD = h$. Из определения косинуса: $\cos(\angle BCD) = \cos\alpha = \frac{CD}{BC} = \frac{h}{BC}$, откуда $BC = \frac{h}{\cos\alpha}$.

Подставим найденные выражения для $AC$ и $BC$ в формулу для площади поверхности: $S = \pi h (AC + BC) = \pi h \left( \frac{h}{\sin\alpha} + \frac{h}{\cos\alpha} \right)$.

Упрощая, получаем окончательное выражение: $S = \pi h^2 \left( \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1}{\cos\alpha} \right) = \pi h^2 \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Ответ: $S = \frac{\pi h^2 (\sin\alpha + \cos\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}$.