Номер 140, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Конус. Вариант 2. Упражнения - номер 140, страница 54.

Условие 2020.

140. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен 9 см. Найдите градусную меру дуги этого сектора, если радиус основания конуса равен 3 см.

Условие 2023.

140. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен 9 см. Найдите градусную меру дуги этого сектора, если радиус основания конуса равен 3 см.

Решение.

Решение 2 (2023).

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса ($l$), а длина дуги сектора ($L_{дуги}$) равна длине окружности основания конуса ($C$).

По условию задачи даны:

• Радиус сектора (он же образующая конуса): $l = 9$ см.
• Радиус основания конуса: $r = 3$ см.

Необходимо найти градусную меру дуги сектора, обозначим её как $\alpha$.

1. Сначала найдём длину окружности основания конуса по формуле $C = 2 \pi r$:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 3 = 6\pi$ см.

2. Длина дуги сектора развёртки равна длине окружности основания конуса:

$L_{дуги} = C = 6\pi$ см.

3. Длина дуги сектора также выражается через радиус сектора ($l$) и центральный угол ($\alpha$) по формуле:

$L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi l$

4. Приравняем два выражения для длины дуги и подставим известные значения, чтобы найти $\alpha$:

$6\pi = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot 9$

$6\pi = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 18\pi$

5. Решим полученное уравнение. Разделим обе части на $\pi$:

$6 = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 18$

Выразим $\alpha$:

$\alpha = \frac{6 \cdot 360^{\circ}}{18}$

$\alpha = \frac{1}{3} \cdot 360^{\circ}$

$\alpha = 120^{\circ}$

Можно также воспользоваться готовой формулой, связывающей угол развёртки $\alpha$, радиус основания $r$ и образующую $l$:

$\alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^{\circ}$

Подставив значения, получим тот же результат:

$\alpha = \frac{3}{9} \cdot 360^{\circ} = \frac{1}{3} \cdot 360^{\circ} = 120^{\circ}$

Ответ: 120°.