Номер 136, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\alpha$, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен $R$, а образующая наклонена к плоскости основания под углом $\beta$.

136. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\alpha$, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен $R$, а образующая наклонена к плоскости основания под углом $\beta$.

Сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются две образующие конуса, а угол между ними равен $\alpha$. Площадь этого треугольника и будет являться искомой площадью сечения.

Обозначим длину образующей конуса как $L$. Площадь треугольника ($S$) с двумя сторонами $L$ и углом $\alpha$ между ними вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} L \cdot L \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} L^2 \sin\alpha$

Теперь необходимо найти длину образующей $L$ через известные величины: радиус основания $R$ и угол наклона образующей к плоскости основания $\beta$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через одну из образующих. Это будет прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота конуса ($H$) и радиус основания ($R$), а гипотенузой — образующая ($L$). Угол между образующей (гипотенузой) и радиусом (катетом, лежащим в плоскости основания) по условию равен $\beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos\beta = \frac{R}{L}$

Отсюда выразим длину образующей $L$:

$L = \frac{R}{\cos\beta}$

Подставим полученное выражение для $L$ в формулу площади сечения:

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{R}{\cos\beta}\right)^2 \sin\alpha = \frac{1}{2} \frac{R^2}{\cos^2\beta} \sin\alpha$

Таким образом, площадь сечения равна:

$S = \frac{R^2 \sin\alpha}{2\cos^2\beta}$

Ответ: $\frac{R^2 \sin\alpha}{2\cos^2\beta}$