Номер 143, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей среднюю из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

143. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей среднюю из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть стороны треугольника равны $a = 13$ см, $b = 14$ см и $c = 15$ см. Согласно условию, треугольник вращается вокруг прямой, содержащей среднюю из его сторон, то есть сторону $b = 14$ см.

Тело, полученное в результате такого вращения, состоит из двух конусов, имеющих общее основание. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей данных конусов.

Образующими этих конусов являются две другие стороны треугольника, то есть $l_1 = 13$ см и $l_2 = 15$ см. Радиусом $r$ общего основания конусов является высота треугольника $h$, опущенная на сторону, вокруг которой происходит вращение (сторону длиной 14 см).

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Таким образом, искомая площадь поверхности тела вращения $S$ будет равна: $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$.

1. Найдем радиус r (высоту треугольника h).
Для этого сначала вычислим площадь треугольника по формуле Герона. Найдем полупериметр $p$: $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
Теперь найдем площадь треугольника $S_{\triangle}$: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$ $S_{\triangle} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см².
С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} b h$. В нашем случае основанием является сторона вращения $b = 14$ см, а высотой — искомый радиус $r=h$. $84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot r$ $84 = 7r$ $r = \frac{84}{7} = 12$ см.

2. Найдем площадь поверхности тела вращения.
Теперь, зная радиус $r=12$ см и образующие $l_1 = 13$ см и $l_2 = 15$ см, мы можем вычислить площадь поверхности. $S = \pi r (l_1 + l_2) = \pi \cdot 12 \cdot (13 + 15)$ $S = 12\pi \cdot 28$ $S = 336\pi$ см².

Ответ: $336\pi$ см².