Номер 149, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

149. Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 см и 4 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $60^{\circ}$. Найдите высоту усечённого конуса.

149. Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 см и 4 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $60^\circ$. Найдите высоту усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Такое сечение представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции служат диаметры оснований конуса, боковые стороны — образующие конуса, а высота трапеции — это высота усечённого конуса.

Пусть $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего основания. По условию, $R = 8$ см и $r = 4$ см. Высоту конуса обозначим как $h$.

Проведём высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему основанию. Мы получим прямоугольный треугольник, в котором:

• Гипотенуза — это образующая усечённого конуса.
• Один катет — это высота усечённого конуса $h$.
• Второй катет равен разности радиусов оснований: $R - r$.

Угол между образующей и плоскостью большего основания является углом в этом прямоугольном треугольнике, прилежащим к катету $R - r$. По условию, этот угол равен $60^\circ$.

Найдём длину катета, равного разности радиусов:

$R - r = 8 - 4 = 4$ см.

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета (в нашем случае $h$) к прилежащему катету ($R - r$).

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{R - r}$

Отсюда можем выразить высоту $h$:

$h = (R - r) \cdot \tan(60^\circ)$

Подставим известные значения. Мы знаем, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$h = 4 \cdot \sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.