Номер 152, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. Образующая усечённого конуса равна 4 см и образует с плоскостью большего основания угол 60°. Найдите радиусы оснований усечённого конуса, если диагональ его осевого сечения равна $2\sqrt{19}$ см.

152. Образующая усечённого конуса равна 4 см и образует с плоскостью большего основания угол 60°. Найдите радиусы оснований усечённого конуса, если диагональ его осевого сечения равна $2\sqrt{19}$ см.

Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса соответственно, $l$ — его образующая, $h$ — высота, а $d$ — диагональ осевого сечения.

Из условия задачи нам известно:
образующая $l = 4$ см;
угол между образующей и плоскостью большего основания $\alpha = 60^\circ$;
диагональ осевого сечения $d = 2\sqrt{19}$ см.

Осевым сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция. Основания трапеции — это диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), боковые стороны — образующие ($l$). Угол при большем основании трапеции равен углу $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, образующей $l$ и проекцией образующей на плоскость большего основания. Эта проекция равна разности радиусов $R-r$. В этом треугольнике $l$ — гипотенуза, $h$ и $R-r$ — катеты.

Найдем высоту $h$ и разность радиусов $R-r$:
$h = l \cdot \sin(\alpha) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
$R - r = l \cdot \cos(\alpha) = 4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см. (1)

Теперь воспользуемся информацией о диагонали осевого сечения. Диагональ $d$, высота $h$ и отрезок на большем основании, равный $R+r$, образуют другой прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
$d^2 = h^2 + (R+r)^2$.

Подставим известные значения и найдем сумму радиусов $R+r$:
$(2\sqrt{19})^2 = (2\sqrt{3})^2 + (R+r)^2$
$4 \cdot 19 = 4 \cdot 3 + (R+r)^2$
$76 = 12 + (R+r)^2$
$(R+r)^2 = 76 - 12 = 64$
$R+r = \sqrt{64} = 8$ см. (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений для нахождения $R$ и $r$:
$\begin{cases} R - r = 2 \\ R + r = 8 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим:
$(R - r) + (R + r) = 2 + 8$
$2R = 10$
$R = 5$ см.

Подставим значение $R$ во второе уравнение:
$5 + r = 8$
$r = 3$ см.

Ответ: радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 3 см.