Номер 159, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Основанием пирамиды является прямоугольник. Одна из его сторон равна 12 см и образует с диагональю угол 60°. Каждое боковое ребро пирамиды равно 18 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

159. Основанием пирамиды является прямоугольник. Одна из его сторон равна 12 см и образует с диагональю угол $60^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды равно 18 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

1. Найдем диагональ основания пирамиды.

Основанием пирамиды является прямоугольник. Пусть одна из его сторон $a = 12$ см. Эта сторона образует с диагональю $d$ прямоугольника угол $\alpha = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника и его диагональю, сторона $a$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$, а диагональ $d$ — гипотенузой.

Соотношение между ними выражается через косинус: $\cos(\alpha) = \frac{a}{d}$.

Отсюда найдем диагональ $d$:

$d = \frac{a}{\cos(60^\circ)} = \frac{12}{1/2} = 24$ см.

2. Определим параметры описанного конуса.

Конус описан около пирамиды. Это означает, что основание конуса — это круг, описанный около основания пирамиды (прямоугольника), а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны ($l = 18$ см), ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей.

Таким образом, радиус основания конуса $R$ равен половине диагонали прямоугольника:

$R = \frac{d}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Образующая конуса $L$ равна боковому ребру пирамиды: $L = 18$ см.

3. Найдем высоту конуса.

Высота конуса $H$, его радиус $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = L^2$

$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{18^2 - 12^2} = \sqrt{(18-12)(18+12)} = \sqrt{6 \cdot 30} = \sqrt{180}$ см.

Упростим корень: $H = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

4. Найдем площадь осевого сечения конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$).

Площадь этого треугольника $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (\text{основание}) \cdot (\text{высота}) = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.

Подставим найденные значения $R$ и $H$:

$S_{сеч} = 12 \cdot 6\sqrt{5} = 72\sqrt{5}$ см².

Ответ: $72\sqrt{5}$ см².