Номер 162, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$ такой, что $AB = BC$, $AC = a$, $\angle ABC = \alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, если $\angle ABD = \beta$.

162. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$ такой, что $AB = BC$, $AC = a$, $\angle ABC = \alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, если $\angle ABD = \beta$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.
Так как конус описан около пирамиды $DABC$, его основанием является окружность, описанная около треугольника $ABC$, а вершина совпадает с вершиной $D$. Таким образом, радиус основания конуса $R$ — это радиус окружности, описанной около $\triangle ABC$, а образующая конуса $L$ равна длине боковых ребер пирамиды, которые в этом случае должны быть равны между собой: $L = DA = DB = DC$.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
В основании лежит равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$, $AC = a$ и $\angle ABC = \alpha$. Радиус $R$ описанной около треугольника окружности найдем по теореме синусов:
$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle ABC)} = \frac{a}{2 \sin(\alpha)}$.

2. Найдем образующую конуса $L$.
Образующая $L$ равна длине бокового ребра, например, $DB$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $DA = DB = L$ (как образующие конуса), треугольник $ABD$ является равнобедренным. По условию задачи $\angle ABD = \beta$, следовательно, угол при основании $\angle DAB$ также равен $\beta$.
Чтобы найти $L$, нам нужно знать длину стороны $AB$. Найдем ее из треугольника $ABC$ по теореме косинусов:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\alpha)$.
Так как $AB = BC$, то:
$a^2 = AB^2 + AB^2 - 2 \cdot AB^2 \cdot \cos(\alpha) = 2AB^2(1 - \cos(\alpha))$.
Применим тригонометрическую формулу $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:
$a^2 = 2AB^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4AB^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.
Отсюда выразим длину $AB$:
$AB = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.
Теперь вернемся к равнобедренному треугольнику $ABD$. Угол при вершине $\angle ADB = 180^\circ - (\angle DAB + \angle DBA) = 180^\circ - 2\beta$. Применим к этому треугольнику теорему синусов:
$\frac{L}{\sin(\angle DAB)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$
$\frac{L}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(180^\circ - 2\beta)}$.
Используя то, что $\sin(180^\circ - 2\beta) = \sin(2\beta)$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\beta) = 2\sin(\beta)\cos(\beta)$, получаем:
$\frac{L}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{2\sin(\beta)\cos(\beta)}$.
Отсюда $L = \frac{AB}{2\cos(\beta)}$.
Подставим найденное ранее выражение для $AB$:
$L = \frac{a / (2\sin(\frac{\alpha}{2}))}{2\cos(\beta)} = \frac{a}{4\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\beta)}$.

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.
Подставим найденные значения $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \frac{a}{2 \sin(\alpha)} \cdot \frac{a}{4\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\beta)} = \frac{\pi a^2}{8 \sin(\alpha) \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\beta)}$.
Для упрощения ответа воспользуемся формулой синуса двойного угла для $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:
$S_{бок} = \frac{\pi a^2}{8 \cdot (2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})) \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) \cdot \cos(\beta)} = \frac{\pi a^2}{16 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\beta)}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{16 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\beta)}$.