Номер 166, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в пирамиду.

166. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 30°. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в пирамиду.

Поскольку по условию задачи все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Конус, вписанный в пирамиду, будет иметь ту же высоту, что и пирамида, а его основанием будет окружность, вписанная в треугольник в основании пирамиды.

Таким образом, для нахождения площади осевого сечения конуса нам необходимо найти его высоту $H$ и радиус его основания $R$, который равен радиусу $r$ вписанной в треугольник-основание окружности.

Нахождение радиуса основания конуса

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $a = 13$ см, $b = 14$ см, и $c = 15$ см. Найдем площадь этого треугольника по формуле Герона. Для этого сначала вычислим полупериметр $p$: $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S_{осн}$: $S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$ $S_{осн} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Радиус вписанной окружности $r$, который равен радиусу основания конуса $R$, находится по формуле $S_{осн} = p \cdot r$: $R = r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{84}{21} = 4$ см.

Нахождение высоты конуса

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани. В этом треугольнике $r$ и $H$ являются катетами. Угол между апофемой и радиусом $r$ (проведенным в точку касания) является линейным углом двугранного угла при ребре основания, и по условию он равен $30^{\circ}$.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем: $\tan(30^{\circ}) = \frac{H}{r}$ $H = r \cdot \tan(30^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см.

Нахождение площади осевого сечения конуса

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса $H$. Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.

Подставляем найденные значения $R$ и $H$: $S_{сеч} = 4 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$ см².

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем: $S_{сеч} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см².

Ответ: $\frac{16\sqrt{3}}{3}$ см².