Номер 171, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона большего основания усечённой пирамиды равна 18 см, высота — $\sqrt{3}$ см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

171. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона большего основания усечённой пирамиды равна 18 см, высота — $\sqrt{3}$ см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R + r) l$, где $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, а $l$ — образующая конуса.

Так как усечённая пирамида описана около усечённого конуса, основания конуса являются окружностями, вписанными в основания пирамиды. Основания правильной усечённой треугольной пирамиды — это правильные (равносторонние) треугольники.

1. Найдём радиус большего основания конуса $R$.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, равен $R = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.Сторона большего основания пирамиды $a_1 = 18$ см. Следовательно, радиус большего основания конуса равен:$R = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

2. Найдём радиус меньшего основания $r$ и образующую $l$ конуса.
Рассмотрим осевое сечение, проходящее через высоту усечённой пирамиды $h$ и апофему её боковой грани. Это сечение представляет собой прямоугольную трапецию, у которой основаниями являются радиусы вписанных окружностей $R$ и $r$, а высотой — высота усечённой пирамиды $h$. Боковой стороной этой трапеции является апофема боковой грани пирамиды.

Двугранный угол при ребре большего основания усечённой пирамиды равен углу между боковой гранью и плоскостью основания. В нашем сечении этот угол равен углу при большем основании трапеции, и по условию он составляет $45^\circ$.

В этой прямоугольной трапеции опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота усечённой пирамиды $h$ и разность радиусов оснований $(R - r)$, а острый угол равен $45^\circ$.

Поскольку один из острых углов в прямоугольном треугольнике равен $45^\circ$, этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны:$R - r = h$

Подставим известные значения $R = 3\sqrt{3}$ см и $h = \sqrt{3}$ см:$3\sqrt{3} - r = \sqrt{3}$$r = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Образующая усечённого конуса $l$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — высота конуса $h$ и разность радиусов его оснований $(R-r)$. По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Так как мы установили, что $h = R-r = \sqrt{3}$, получаем:$l^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 = 3 + 3 = 6$$l = \sqrt{6}$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности усечённого конуса.
Теперь, зная все необходимые величины, подставим их в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi (3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) \sqrt{6}$$S_{бок} = \pi (5\sqrt{3}) \sqrt{6} = 5\pi\sqrt{3 \cdot 6} = 5\pi\sqrt{18}$$S_{бок} = 5\pi\sqrt{9 \cdot 2} = 5\pi \cdot 3\sqrt{2} = 15\pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: $15\pi\sqrt{2}$ см².