Номер 176, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок CD, если $C (2; -5; -2)$, $D (-4; 3; 2)$.

176. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок CD, если $C(2; -5; -2)$, $D(-4; 3; 2)$.

Уравнение сферы в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — её радиус.

1. Нахождение центра сферы.

Поскольку отрезок $CD$ является диаметром сферы, её центр $O$ будет находиться точно посередине этого отрезка. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Даны точки $C(2; -5; -2)$ и $D(-4; 3; 2)$.

Найдем координаты центра $O(x_0; y_0; z_0)$:

$x_0 = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_0 = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$z_0 = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, центр сферы — точка $O(-1; -1; 0)$.

2. Нахождение радиуса сферы.

Радиус $R$ сферы равен половине длины диаметра $CD$. Длину диаметра (расстояние между точками $C$ и $D$) можно найти по формуле:

$d = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2}$

Вычислим квадрат длины диаметра $d^2$ для удобства, так как в уравнении сферы используется квадрат радиуса $R^2 = (d/2)^2 = d^2/4$.

$d^2 = (-4 - 2)^2 + (3 - (-5))^2 + (2 - (-2))^2 = (-6)^2 + (8)^2 + (4)^2 = 36 + 64 + 16 = 116$.

Теперь найдем квадрат радиуса:

$R^2 = \frac{d^2}{4} = \frac{116}{4} = 29$.

Также радиус можно было найти как расстояние от центра $O(-1; -1; 0)$ до любой из точек на сфере, например, до точки $C(2; -5; -2)$:

$R^2 = (2 - (-1))^2 + (-5 - (-1))^2 + (-2 - 0)^2 = 3^2 + (-4)^2 + (-2)^2 = 9 + 16 + 4 = 29$.

3. Составление уравнения сферы.

Подставим найденные координаты центра $O(-1; -1; 0)$ и значение квадрата радиуса $R^2=29$ в общую формулу уравнения сферы:

$(x - (-1))^2 + (y - (-1))^2 + (z - 0)^2 = 29$

$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 29$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 29$