Номер 169, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием $m$ и углом при основании $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду.

169. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием $m$ и углом при основании $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок.кон.} = \pi r L$, где $r$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.

Так как конус вписан в пирамиду, их вершины совпадают, а основание конуса является окружностью, вписанной в основание пирамиды. Следовательно, радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в равнобедренный треугольник в основании пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса (r)

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием $m$ и углами при основании $\alpha$. Найдем радиус вписанной в него окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Пусть боковая сторона треугольника равна $b$. Проведем высоту к основанию $m$. Эта высота разделит основание на два отрезка по $\frac{m}{2}$. Из полученного прямоугольного треугольника найдем боковую сторону:

$\cos(\alpha) = \frac{m/2}{b} \implies b = \frac{m}{2\cos(\alpha)}$

Теперь найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{m + b + b}{2} = \frac{m + 2b}{2} = \frac{m + 2 \cdot \frac{m}{2\cos(\alpha)}}{2} = \frac{m(1 + \frac{1}{\cos(\alpha)})}{2} = \frac{m(1+\cos(\alpha))}{2\cos(\alpha)}$

Найдем высоту треугольника $h$, проведенную к основанию $m$:

$h = \frac{m}{2} \tan(\alpha)$

Площадь треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2} m h = \frac{1}{2} m \cdot \frac{m}{2} \tan(\alpha) = \frac{m^2 \tan(\alpha)}{4}$

Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{m^2 \tan(\alpha)}{4}}{\frac{m(1+\cos(\alpha))}{2\cos(\alpha)}} = \frac{m^2 \tan(\alpha) \cdot 2\cos(\alpha)}{4m(1+\cos(\alpha))} = \frac{m \sin(\alpha)}{2(1+\cos(\alpha))}$

Используя формулы половинного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ и $1+\cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, упростим выражение:

$r = \frac{m \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{m \sin(\frac{\alpha}{2})}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{m}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$

2. Найдем образующую конуса (L)

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\phi$, вершина пирамиды (и конуса) проецируется в центр вписанной окружности основания (инцентр).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и образующей конуса $L$. Образующая $L$ является гипотенузой.

Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема боковой грани пирамиды образуют прямоугольный треугольник. Угол между апофемой и радиусом $r$ (проведенным в точку касания) является линейным углом двугранного угла при основании и равен $\phi$. Образующая конуса, проведенная к точке касания, совпадает с апофемой пирамиды.

В этом прямоугольном треугольнике $r$ — прилежащий катет к углу $\phi$, а $L$ — гипотенуза. Таким образом:

$\cos(\phi) = \frac{r}{L} \implies L = \frac{r}{\cos(\phi)}$

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса

Подставим найденные выражения для $r$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности конуса:

$S_{бок.кон.} = \pi r L = \pi \cdot r \cdot \frac{r}{\cos(\phi)} = \frac{\pi r^2}{\cos(\phi)}$

Теперь подставим значение $r = \frac{m}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$:

$S_{бок.кон.} = \frac{\pi}{\cos(\phi)} \left( \frac{m}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) \right)^2 = \frac{\pi}{\cos(\phi)} \cdot \frac{m^2}{4} \tan^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\pi m^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{4\cos(\phi)}$

Ответ: $\frac{\pi m^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{4\cos(\phi)}$